数学の問題で、わからないので教えてください。

２つの放物線y^2=4xとx^2=4yの共通の接線を求めよう。

No.1 ベストアンサー 回答者： gohtraw 回答日時： 2011/10/11 19:53

ｘ＾２＝４ｙ　より　ｙ＝ｘ＾２／４でありｄｙ／ｄｘ＝ｘ／２　です。

この放物線の点（ｐ、ｐ＾２／４）における接線の傾きはｐ／２なので、この接線の式を
ｙ＝ｐｘ／２＋ｂ
とおくと
ｐ＾２／４＝ｐ＾２／２＋ｂ
ｂ＝－ｐ＾２／４
なので、この接線の式は
ｙ＝ｐｘ／２－ｐ＾２／４
であり、ｘについて解くと
ｘ＝２（ｙ＋ｐ＾２／４）／ｐ
です。これをｙ＾２＝４ｘに代入すると
ｙ＾２＝８（ｙ＋ｐ＾２／４）／ｐ
というｙの二次方程式になります。これが重解を持つ条件を求めればいいと思います。

感覚的には二つの放物線の対称性から、共通接線の傾きはー１になるはずで、共通接線の式を
ｙ＝－ｘ＋ｃ
とおいていずれかの放物線と接する条件を求めてもいいと思います。

No.2 回答者： alice_44 回答日時： 2011/10/11 20:04

対称性から傾き -1 云々については、

傾き α の共通接線と傾き 1/α の共通接線が
対で現れる可能性を直感的には排除できないから、
あまり軽々に過程すべきではない。