√x+√y=√a(1)(a>0)上の点pにおける接線がx軸y軸と交わる点をそれぞれABとするとき、原点Oからの距離の和OA+OBは一定であることを示せ。
(1)上の接点Pを(s、t)(s>0、t>0)とおいて、√s=p、√t=qとしたところ、点Pにおける接線は
Y=ーq/px+pq+q^2と表せ、A(pq+p^2、0)B(0、pq+q^2)となりました。
OA+OBを√をなくすため(これでやっても結果は同じはず)OA^2+OB^2をかんがえたところ、
(p^2+q^2)(p+q)^2=(s+t)(√s+√t)^2なりました。しかしこれでは、s,tにかかわらず一定であるという形ではありません。
どこがいけないのでしょうか?OA^2+OB^2をかんがえたところはあっているはずなのですが
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
√x+√y=√a (1)
は放物線を45度傾けたものです。
x^(1/2)+y^(1/2)=a^(1/2)
xで微分して
(1/2)x^(-1/2)+(1/2)y^(-1/2)y'=0
これより
y'=-(y/x)^(1/2) (2)
は出せましたか。
従って点P(s、t)における接線は
y-t=-(t/s)^(1/2)(x-s) (3)
点P(s、t)が(1)上にあることから
√s+√t=√a (4)
点Aではy=0、これを(3)に代入して
x=s+(st)^(1/2)=OA
点Bではx=0、これを(3)に代入して
y=t+(st)^(1/2)=OB
OA+OB=s+t+2(st)^(1/2)=(√s+√t)^2=(√a)^2=a ((4)を使う)
質問者は
A(pq+p^2、0)B(0、pq+q^2)を出しています。これは正解です。最後の
OA+OB=p^2+2pq+q^2=(p+q)^2=(√s+√t)^2
のところで躓いています。
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