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30度、45度、60度、90度などが簡単に作図できることと5角形の作図ができることとは共通な理由があるのでしょうか。

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A 回答 (5件)

コンパスと定規での作図、という条件がないと質問が無意味なので、そういうことで回答しますが。


定規は直線を引くものなので、描かれる図形は1次式で表現できます。一方コンパスは円を描くので、描かれる図形は2次式できます。
以上のことから、コンパスと定規でできることは整数係数の2次方程式を解くことと同義になります。
5角形の場合72度、36度、18度のうちどれかが作図できれば描けます。
cos18°=tとおくとcos36°=2t^2-1
cos54°=4t^3-3tこれはsin36°に等しいから
(2t^2-1)^2+(4t^3-3t)^2=1
これを変形すると(t^2)*(16t^4-20t^2+5)=0となり、tを四則と平方根だけで求められます。ゆえに作図可能。
30度45度60度90度はそれぞれ正12角形、正8角形、正6角形、正方形の作図と同値になります。
一般の場合、円分方程式の解法の問題なので、(たとえば4度が作図できることは正90角形の作図と同値です)ガロア理論を使います。(そこでわかるのは根号(平方根とは限らない)と四則で解けるかどうかですが)。
ただし、既にみなさんが答えておられるようにコンパスと定規に限れば既に答えはでています。
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この回答へのお礼

ご教示ありがとうございます。改めて勉強させていただきます。

お礼日時:2005/10/22 12:24

nが奇数のとき、正n角形が作図できるのは、


nが、3、5、17、257、65537であるか、またはこれらの素数を2個以上かけあわせたものである場合だけ、ということを、ガウスが1796年に証明しています。

3、5、17、257、65537というのは、フェルマー素数というやつです。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A7% …
実際には、65537がもっとも大きいフェルマー素数ということは証明されていないので、もっと大きなnについて、正n角形が作図できる可能性はあります。
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この回答へのお礼

ぼんやりしていて正多角形の作図ができるということが角度も含んでいることに気がつきませんでした。作図可能な角形の数列に何か法則はないのでしょうか。ご教示ありがとうございました。

お礼日時:2005/10/22 10:16

三角定規とコンパスだけを使って、任意角の2等分は出来ます。


ですから
30度、45度、60度、90度や、これらの差の
(2^n)等分の角は作図出来ます。

ところが任意角の3等分が「三角定規とコンパスだけを使って」出来ないですね(1837年にWantzelにより証明された)。

角の3等分方程式
http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/angle3/an …
正n角形の作図法への取り組み
http://www.lcv.ne.jp/~hhase/memo/m04_10a.html

なお、任意の正整数nに対して√nは作図できます。
1:1:√2の直角三角形の√2の辺をコンパスで1の辺に重ねれば、1:√2:√3の直角三角形が出来ます。
同じ操作で1:√3:√4のの直角三角形が出来ます。
さらに同じ操作で1:√4:√5のの直角三角形が出来ます。
さらに同じ操作で1:√5:√6のの直角三角形が出来ます。
この操作を繰り返していけば1:√(n-1):√nの直角三角形が出来ます。
つまり√nが作図できるということですね。

例えば 7度や173度のような角度を作図することは困難ですね。
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この回答へのお礼

角度は実数ですね。√を使えば近似的にでも正n角形は作図できるのでしょうか。ご教示ありがとうございましたした。

お礼日時:2005/10/22 10:12

「作図」というのは、定規とコンパスだけで図を書くというのを意味していると思いますが、この組み合わせでかける図形というのは、高々√までです。



例えば、正方形を作図して対角線が√2ですが、これは、上記とコンパスだけで、√2を作ったという意味です。

逆に、ある角度を作るためには、最終的にはその角度を表現できるための「比」を作図する必要があります。

これから、3角関数の値が加減乗除とルートの組み合わせになるような角は、作図できる可能性があります。

sin 30° = 1/3 , sin 60°= √3/2, sin 45°= 1/√2
という訳で、このあたりの角度は作図できるわけです。

正5角形の作図では、1:2:√5 の三角形を使っているそうです。
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正五角形の作図法について以下のURLをご覧ください。


製図(作図)法では、2種類の三角定規とコンパスだけで正多角形の図形を描く方法が先人の工夫で確立しています。

http://www3.kcn.ne.jp/~tomate/pentagon/pentagon. …
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この回答へのお礼

ご教示どうもありがとうございます。特別な角度は日常生活で出てきますので理論などなくても作れますが、ほかの大部分の角度は。無理ですね。

お礼日時:2005/10/21 12:50

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