凸多角形を用いた正方形の作図

凸多角形が与えられたとき、どんな凸多角形でもそれと面積の等しい正方形を定規とコンパスにより作図することが可能であることを証明せよ。

どこから手をつければよいかさっぱり分かりません。どなたか教えていただければありがたいです。

No.4 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2022/04/06 18:33

n角形(n≧4)の1個の頂点Xを選んで、Xに隣接する2つの頂点をY,Zとする。

Yに隣接するXでない頂点をSとする。「Xを通り対角線YZと平行な直線」と「辺SYの延長線」との交点をX'とする。元のn角形からX,Yを取り除いて代わりにX'を追加してできるn-1角形は、面積が元と同じ。
という手順を繰り返せば、問題はn=3の場合に帰着する。あとは頑張れ。

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2022/04/06 00:59

もとの問題の作成者がどのような「解答」を想定しているかにもよると思う＞#2.

作図という点では凸である必要性はなく, 一部が凹んでいてもいいしなんなら穴があってもいい. ただ, 凸を前提にすれば話が簡単になりうる.

No.2 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2022/04/04 22:13

「プラニメーター」という面積を測定する器具がありますが、その求積原理をネットで調べれば、証明になると思います。

面積計測にあたって特に凸性は求められていなかった気もしますが、作図上必要なのでしょうか。興味深いです。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2022/04/04 01:37

方法はいろいろありそうだけどね.

例えば「三角形を正方形にできる」かつ「頂点を 1つ減らせる」とか.