再来年の受験を控えた高校2年です。
インターネット上で見つけた問題なのですが、一晩考えてもわかりませんでした。
解答が載ってなく、HPを運営している方にメールを送っても音沙汰がないので、
ここで質問させてください。わかる方いましたら、お願いします。
私は今のところあまり数学が得意ではないので、できるだけ詳しいな解答をお願いします。
半径1の円に内接する三角形ABCと、円周上を動く点Pがある。
(1)AP^2+BP^2+CP^2が一定の値であることを示せ。
(2)AP+BP+CPのとりうる値の範囲を求めよ。
A 回答 (4件)
- 最新から表示
- 回答順に表示
No.4
- 回答日時:
No2です。
再開。(1)の回答は、Pが弧AC上のものですが、弧AB上、弧BC上も
同様です。
(2)はAP=x,BP=y,CP=z,AP+BP+CP=kとすれば(1)から
x^2+y^2+z^2=6・・(ア)
xz-xy-yz=-3・・(イ)
x+y+z=k・・(ウ)
(ウ)からz=k-(x+y)を(ア),(イ)に代入すると
(ア)は2x^2+2y^2+2xy-2kx-2ky+k^2-6=0
(イ)は-x^2+y^2-xy+kx-ky+3=0
下を2倍して上に加えると
4y^2-4ky+k^2=0
(k-2y)^2=0
k=2y
yはBPのことで、今、Pが弧AC上を考えているのでBPの
最小は正三角形の1辺(=√3)と等しいとき、最大は外接円の直径
(=2)になるときです。
よって、2√3≦k≦4 となります。
No.3
- 回答日時:
(1)は、#2さんが回答されていますね。
別の方法として、ベクトルを使う方法もあります。
簡単に手順だけ書いておきます。
・内心を点Oとして、位置ベクトルの原点とします。
・|AP↑|^2+ |BP↑|^2+ |CP↑|^2を OA↑、OB↑、OC↑、OP↑を用いて表します。
・点Oについては OA↑+OB↑+OC↑=0↑が成り立ちます。これを適用すると、値が 6となります。
(2)ですが、これは座標を適当に置きましょう。
これも手順を示しておきます。
・OAを x軸とすると、角BOA= 2π/3、角COA= 4π/3とすることができます。
また、角POA=θ(0≦θ≦π/3)とおきます。
・角POB、角POCはθを用いて表すことができます。
・三角形OAP、三角形OBP、三角形OCPは、二等辺三角形ですので、AP、BP、CPをθを用いて表すことができます。
・AP+BP+CPを計算します。(加法定理を使って整理します)
θは 0≦θ≦π/3(弧ABの間)と置きましたが、
点Pが弧BCの間であっても、弧CAの間であっても、
2π/3もしくは 4π/3回転させると同じことになります。
答えがないとのことですので、答えを書いておくと
2√3≦ AP+BP+CP≦ 4となります。
No.2
- 回答日時:
(1)
∠APB=∠BPC=60°(円周角の定理)、正三角形ABCの
1辺は√3だから
△ABPで余弦定理より、3=AP^2+BP^2-AP*BP
△BCPで余弦定理より、3=BP^2+CP^2-BP*CP
△ACPで余弦定理より、3=AP^2+CP^2+AP*CP
これらを辺々加えて
9=2(AP^2+BP^2+CP^2)+(AP*CP-AP*BP-BP*CP)・・・☆
一方、△ABC+△ACP=△ABP+△BCPなので面積の式
から
(3√3)/4+{(√3)/4}(AP*CP)={(√3)/4}(AP*BP+BP*CP)
整理して
AP*CP-AP*BP-BP*CP=-3
よって、☆からAP^2+BP^2+CP^2=6
事情により時間切れ。すみません。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 数学 半径6の円Kを底面とする半球がある。半球の底面に平行な平面が半球と交わっており、交わりの円Lの半径は 6 2022/06/24 06:34
- 数学 写真の数学問題の解答で「ベクトルAP=kベクトルAQ」「ベクトルBP=lベクトルBR」とする発想はど 3 2023/07/19 20:17
- 数学 『弧は弦より長し』 8 2022/04/18 10:23
- その他(悩み相談・人生相談) 数学IIの問題で、 2点(5.0)(-3.0)に対して、距離APが距離BPの3倍である点Pの軌跡を求 3 2023/05/04 11:45
- 数学 数学の質問です。三角関数の合成の問題で、最大値を求めるとき、右下の円のような値の範囲から最大値を求め 2 2023/01/09 21:21
- 大学受験 娘の大学受験勉強 6 2022/06/30 19:58
- 高校受験 中3で、高校受験を控えているものです。 今日、私が公立高校入試試験の問題を解いている夢を見ました。 2 2022/12/12 23:58
- 数学 数学について この問題の(2)、点Eが点AからBへ動く時になぜ点A'が 点Cまで弧を書いているのかが 1 2023/04/15 00:37
- 数学 右の図で、BCの長さを四捨五入して、 小数第1位まで求めなさい。 図は三角形ABCで、∠Aが50度、 3 2022/07/28 01:17
- 物理学 質量 M,半径αの円板が1つの直径を固定軸として回転できるようになっている。質量mの物体が速さvで円 2 2022/10/21 20:16
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
小学生4年算数
-
角度問題を教えてください
-
質問です
-
下の画像の中の三角形は正方形...
-
2対3対4の内角を持つ三角形の名...
-
数学の照明の初歩について質問...
-
星(★)の角度
-
角度の問題です。合同な正方形...
-
角dbc=角aedより角abc=aedと...
-
サイン、コサイン、タンジェン...
-
高校数学です! 三角形 ABCにお...
-
高校数学の質問です
-
数Aです。2つの円と共通接線と...
-
この1番の問題が分かりません。...
-
傍心の問題
-
数学の図形に関する質問です! ...
-
教えて下さい
-
三角形ABCが二等辺三角形である...
-
高校の数学なんですけど二等辺...
-
超難問、角度問題です。エレガ...
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
質問です
-
小学生4年算数
-
超難問、角度問題です。エレガ...
-
負角(-θ)とは? 定義を教えて...
-
角度当てクイズVol.225の解き方...
-
高校の数学なんですけど二等辺...
-
「門ごと」と「角ごと」、どち...
-
合同でない三角形
-
角度の問題です。合同な正方形...
-
三角形の角の三等分線の定理とは?
-
数学IIの三角関数の問題です(...
-
エクセルで角度を求めたいのですが
-
木工で一辺100mmの角材から正...
-
星(★)の角度
-
下の画像の中の三角形は正方形...
-
高1数学A平面図形 この問題を...
-
鹿の角がほしい
-
二等辺三角形の角度を求める問題
-
三角形ABCが二等辺三角形である...
-
三角形ABCの角Bが、90度の時の...
おすすめ情報