算数の角度問題の解き方を教えてください。

算数が得意な方がいましたら、↓の問題の解法をお知らせください。
あらゆる可能性を考えましたが、力不足で解くことができませんでした。
できれば、どうすればこのような問題が解ける発想力を身に付けることができるのかもご教授していただけると助かります。
よろしくお願いします。

No.5 ベストアンサー 回答者： goo-learner 回答日時： 2015/10/23 21:54

下図のようにBCの上側に正三角形をつくると、ACがBEの垂直２等分線、ΔBEDが二等辺三角形であることを利用して、∠ABE＝∠DEB＝75度。

ここから、A、D、Eが直線上に並んでいることが分かりますから、後はｘ＝180－∠BDE＝180－75＝105度

角度の加減算だけで求まらないときは、二等辺三角形の性質を利用すると綺麗に解ける場合があります。

この回答へのお礼

回答、ありがとうございます。
とてもシンプルで、頭の中がすっきりしました。

三角形ABCと三角形AECが合同という証明はわかるのですが、
ADEが同一直線上であることはどのように証明すればいいのでしょうか？
もしかしたら、DEはADからほんの少し曲がるかもしれませんよね。
どうなんでしょう？考え過ぎでしょうか？

お礼日時：2015/10/23 22:35

No.7 回答者： goo-learner 回答日時： 2015/10/23 22:47

＃５です。

少し省略して書いてしまいました。
∠BEDは二等辺三角形BEDの底角ですから∠DBE＝３０度から75度とわかりますね。
一方Dを無視して、AEを直線で結ぶとΔABEが二等辺三角形（ACがBEの垂直二等分線だから）であることから、∠AEB＝∠ABEですが、∠ABEは直角三角形ABFの内角の和から75度なので、∠ABEも75度、従って∠AEBも75度ですね。なので、A、D、Eは直線上に並んでいることが分かります。

この回答へのお礼

度々の回答、ありがとうございました。

ADEが同一直線上にあることが理解できました。
それを証明しなくても、三角形BDEの角度さえわかれば、ｘの角度はでますね。

今、別解を考えていますが、二等辺三角形BDEを作らずには解けないのではないかと思っています。
もしルートを使わずに解ける他の解法がありましたら、教えてください。

お礼日時：2015/10/26 12:05

No.6 回答者： スチールウール 回答日時： 2015/10/23 22:47

まず、私の問への答えはNo.5さんの奴の通り補助線の引き方によっては、ルートを使わずにいけます

ついでに答えておくとNo.5さんのものでは
△BDEは∠DBE = 30°の二等辺三角形 →∠BDE = ∠BED = 75°

△AEBを作成すると(DがE上に来るとは限らない)
BF = 90°、 BF = EFつまり、FがBEの垂直二等分線になっているので、△ABEは二等辺三角形 (BF = 90°は正三角形BCEにおいてAFが∠BCEの角の2等分線だからです)
よって、∠ABE = ∠AEB
∠ABE = ∠ABC - 60° = 135 - 60° = 75°

つまり、∠AEB = ∠DEBになるためDはAE上にあることになります

この回答へのお礼

度度々の回答、ありがとうございました。

この問題はNo.5さんのように、二等辺三角形を作らなければルートの知識が必要に思いますが、どうなのでしょうか？
もし何かいい方法がありましたら、教えてください。

お礼日時：2015/10/26 11:56

No.4 回答者： スチールウール 回答日時： 2015/10/23 21:33

No.1の解答無駄なことしてますね

30,60,90の△になるから、∠ADH=60°
∠BDH=45°より、足して105°の方が楽ですね

No.2の方が言うように他の補助線でも求まります
例えばDから左に線を引いてABとぶつかる点をPとでもすると、△APDは△CBAと相似になります
ただ、相似になることを証明しないといけないので、辺の比が必要。結局ルートの計算となると思います

ルートのマシな計算としては、卑怯というか全く証明にはなってませんが…
DH引いたら二つの知ってる三角形になるだろうと仮定すると、∠CAD=15°
DH=aとするとAD=2a
DB=√2a, DC=2a
となるので、AD=CD(二等辺三角形)
角も15°二つでキチンとなってるので矛盾してない！
ということで、60と45の和で良いんじゃないだろうか

答えだけで良いなら、私はこうやります

この回答へのお礼

回答、ありがとうございました。

∠DACをｙと置いて、連立方程式を作ろうとしましたが、
何をどう組み合わせても、ｘ＋ｙ＝１２０°しか出ませんでした。
何が何だかわからないくらい補助線を引きまくって、
正三角形やら二等辺三角形やらいろいろ描いたのに、とほほです（泣）

原理的にルートを使わずに解くのは無理なのでしょうか？

お礼日時：2015/10/23 21:57

No.3 回答者： スチールウール 回答日時： 2015/10/23 18:08

No.2さんフォローありがとうございます

90+15を間違えました…

この回答へのお礼

度々の回答、ありがとうございました。
補助線を使って、３０度、４５度、６０度、９０度を作るようにすればいいのですね。
ルートを使わないで説明することも可能なのでしょうか？

お礼日時：2015/10/23 21:01

No.2 回答者： keiryu 回答日時： 2015/10/23 16:56

Ｎо1の解答でいですが、最後が計算ミスで、105°です。

これは、ラングレーの問題の一種で、発想力をいくら伸ばしたってなかなか難しいですよ。
ラングレーの問題、あるいは、凧型四角形の問題とキーワードで検索すれば、色んな解答例が出てきます。
それを参考に、ご自分で考えてみてください。

この回答へのお礼

回答、ありがとうございました。
ラングレー問題という名前は初めて聞きました。
早速、調べてみます。

お礼日時：2015/10/23 21:02

No.1 回答者： スチールウール 回答日時： 2015/10/23 15:26

x = 115度

相似や三平方を使えば求まるのですが、最適解ではない気がします

ACとBDの交点をE, DからABに垂線Hを降ろすとする
△AEB∽△CED (証明略、対頂角が等しい、∠ACD = 15度なので)

DB = BC = √6a(a>0)とすると
DC = 2√3a (45度の直角三角形の辺の比)
BE = √2a (30度の直角三角形の辺の比)
ED = √6a - √2a
BH = DH = √3a (45度の直角三角形の辺の比)

△AEB∽△CEDより
AB : CD = BE : ED
AB : √6a = √2a : √6a - √2a
(√6a - √2a)AB = 2√3a^2
AB = 2√3a^2 / (√6 - √2)a = (3+ √3)a (有理化)

AH = AB -BH = 3a

△AHDに注目すると
∠AHD = 90度、BH : AH = 1: √3
よって∠HAD = 30度
∠BAC = 15度より∠CAD = 15度

△CAHにおいて内角の和は180度なので、
∠CAH + ADB + ∠BDC + ∠ACD = 180°
15° + x + 45° + 15° = 180°
x = 115°