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D = P^-1 A P と置いた D が対角行列、かつ A が正則ならば、
detD = det(P^-1) detA detP = (1/detP) detA detP = detA ≠ 0.
対角行列の det は対角成分の積なので、 D の対角成分に 0 は無い。
よって、D の対角成分の逆数を対角成分に持つ対角行列 R
を作ることができ、D R = E である。 B = P R P^-1 と置くと、
A B = (P D P^-1)(P R P^-1) = P D (P^-1 P) R P^-1 = P D R P^-1 = P P^-1 = E.
となって、 B が A の逆行列である。
A^-1 は R = P^-1 A^-1 P と対角化可能であることが判った。
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