図形の問題

問題文そのまま転記です。

右図でACは円Oの直径、点Dにおける接線とACの延長との交点がEである。
∠AED=48のとき∠ABDの大きさを求めよ。

解説お願いいたします。

No.3 ベストアンサー 回答者： mariopapa2397 回答日時： 2011/01/18 10:16

角度の問題は、いろいろな求め方があると思いますが、

そのうちの１つとして。
まず、この問題では、円周角の利用と、
円の接線は、接点を通る半径と垂直に交わる、
を利用します。
ＣとＤを結ぶと、弧ＡＢに対する円周角で
∠ＡＢＤ＝∠ＡＣＤ
ＯとＤを結ぶと、ＯＤ⊥ＥＤで、△ＯＥＤは、直角三角形となり、
∠ＤＯＥ＝90°-48°＝４２°
△ＯＤＣは、二等辺三角形なので
∠ＯＣＤ＝(180 - 42)÷2 = 69°
∠ＯＣＤ＝∠ＡＢＤ＝６９°
で、どうでしょうか。

この回答へのお礼

ありがとぅございます！物凄くわかりやすかったです。

お礼日時：2011/01/18 15:45

No.4 回答者： naniwacchi 回答日時： 2011/01/18 13:01

こんにちわ。

角度の問題であまり方程式を使うことはないと思いますが、
こんな方法もありますよ。ということで。

・まず、点BとC、点CとDをそれぞれ直線で結んでおきます。

・すると、角ABC＝ 90度（ACが直径だから）となるので、
角ABD＝ x度、角CBD＝ y度とおくと、x+ y＝ 90となります。

・次に、三角形BCDと接線EDとで接弦定理を用いれば、角CBD＝ 角CDE＝ y度となります。
また、角ACD＝ 角ABD＝ x度（円周角）となります。

・角ACDは三角形CDEの外角となっているので、上の内容から
角ACD＝ 角CED＋角CDE。つまり、x＝ 48+ yとなります。

・あとは、xと yの連立方程式を解けば、xが求める角度になります。

No.2 回答者： htms42 回答日時： 2011/01/18 06:29

この問題を読むとＢについての説明がどこにもありません。

いきなり「∠ＡＢＤの大きさを求めよ」となっています。
一瞬「解けないのでは？」と思ってしまいます。ちょっと途方に暮れてしまいます。
多分、質問者様はここで立ち往生！ということではないでしょうか。
「解けるとしたらＢを円周上のどこに書いても同じ角度になるということではないか」と考えを方向転換します。それで「円周角の定理が使える問題ではないか」と思い当ることになります。
これがこの問題のポイントになります。

円周角を使うのであればＢはどこでもいいのですからＤＢが直径になるようにＤＢを引けば簡単になります。△ＡＢＤは直角三角形、△ＯＥＤも直角三角形です。△ＡＯＤは二等辺三角形です。
ここまでくれば∠ＡＢＤ＝６９°を求めるのはすぐにできると思います。

No.1 回答者： OMEGA309 回答日時： 2011/01/18 01:50

まず、補助線をBC、CD、ADにそれぞれ引きます。

△CEDと△ACDについて接弦定理より
　∠CDE＝∠CAD　(ここでこの角をαとおいておく。)
△ACDにおいて、直径の円周角なので
　∠CDA＝90°
△AEDにおいて内角について考えると
　∠AED＋∠CDE＋∠CDA＋∠CAD＝180°
　48°＋α＋90°＋α＝180°
　2α＝180°－48°－90°
　α＝21°
したがって∠CDE＝∠CAD＝21°であることがわかります。

次に、△ACDと△BCDについて、円周角が等しいので
　∠CAD＝∠CBD＝21°
△ABCにおいて、直径の円周角なので
　∠ABC＝90°

求める∠ABDは
　∠ABD＝∠ABC－∠CBD
なので、上記の導出より
　∠ABD＝90°－21°＝69°
となります。