固有多項式の定数項が(-1)^n|A|であることの証明

質問です。nを２以上の自然数とし、Aを正則なn次正方行列とします。
Aの固有多項式の定数項が(-1)^n|A|であることの証明を与えてくださくい。|A|はAの行列式です。

No.3 回答者： guuman 回答日時： 2008/07/22 07:04

f(λ)=|λ・E-A|が定義なら定数項=f(0)=|0・E-A|

しかしf(λ)=|A-λ・E|が定義かもしれんよ

No.2 回答者： kup3kup3 回答日時： 2008/07/22 01:57

おはようございます。

行列Ａの固有方程式をφ(x)=det(xE-A)＝0とする。Aの固有値全体は
φ(x)=det(xE-A)＝0という複素数係数のxのn次方程式の解であり、
それは複素数全体Ｃの中にn個存在する。その固有値をλ1，λ2,・・・、λnとする。
（重複があるかもしれないが）
Aを例えばJordan標準型に直すか、（または上三角行列に）正則行列Ｐで
Ｐ^(-1)AＰ=J　　「Ｊはジョルダン型行列とする。」
（Ｐ^(-1)AＰ=K　(Kは「上三角行列」））にできる。
そのとき、対角線上にはλ1，λ2,・・・，λnが並ぶ。
よって　det(Ｐ^(-1)AＰ)=detJ=λ1×λ2×・・・・・×λn　・・・(*)となる。
　det(Ｐ^(-1)AＰ)=det(Ｐ^(-1))×detA×detP
=det(Ｐ^(-1))×detP×detA=det(Ｐ^(-1)×Ｐ)×detＡ=detA　
ゆえに(*)から
derA=det(Ｐ^(-1)AＰ)=detJ=λ1×λ2×・・・・・×λn・・・(1)
一方　固有方程式の解はλ1，λ2,・・・、λnだから
φ(x)=det(xE－A)=(x－λ1)(x-λ2)・・・・(x-λn)　・・・(2)となる。
よって定数項は(-1)^n(λ1×λ2×・・・・・×λn)・・・(3)となる。(1)(3)から
定数項=(-1)^n×derA==(-1)^n×|A|
（証明終わり）
この証明をみれば分かる様にAが正則行列である必要はありません。
Aが正則行列でないときは、|A|=0であるが、それは
φ(x)=det(xE－A)=0においてφ(0)=det(－A)=(-1)^n×|A|=0ということで
固有値の中に0のものがあるというだけのことです。

◎因みに(２)の解と係数の関係から
trA=tr(Ｐ^(-1)AＰ)=λ1＋λ2＋・・・＋λn
=固有多項式φ(x)のx^(n-1)の係数×(-1)です。
これはよく知られています

この回答へのお礼

おはようございます。
そうですね、正則行列であることは必要ありませんでした。
どうもdetA=λ1×λ2×・・・・・×λnだと導けなくて行き詰っていましたが、意外と簡単に導くことが出来るようでまだまだ自分の力不足を痛感します・・・笑

お礼日時：2008/07/22 10:38

No.1 回答者： rabbit_cat 回答日時： 2008/07/22 01:06

いろいろあると思いますが、

例えば、nについて帰納法で証明するとして、
n-1で成り立つと仮定すれば
行列式|A|と、固有多項式|λI-A| を余因子展開で表示してみれば、nでも成り立つことが示せると思います。