線形変換と表現行列

少し長いですが、線形変換と表現行列についてです。

------------------------------------------------
平面のベクトル全体を V^2 として、V^2 の元a を、座標系Γに関して、方程式

g: 2x-3y+1=0, h: x+2y-3=0

で、gに沿ってhに平行射影する V^2 の線形変換Ｔの、Γの基本ベクトル{e1, e2}に関する行列（表現行列？）を求めよ

---------------------------------------------------
という問題にて、

g の方向ベクトル a1=(3, 2)
h の方向ベクトル a2=(-2, 1)

として、

λa1 + μa2 = e1　　・・・(*)
λ'a1 + μ'a2 = e2　・・・(**)

を解いて得た、μ, μ'を使って

[ μa2 μ'a2 ]

が求める行列だから・・・

と解説に書いてあるのですが、何故(*), (**) の式を立てるのかがわかりません。
線形変換である点と、自然基底である点から、
座標系Γの点 X=(x1, x2)を条件にしたがって平行射影し、h上にのっかた点を Y=(y1, y2)として

Y = AX

となるような線形変換のAを求めればいいのかな？なんて思っていたのですが・・・。
(表現行列は、基底が自然基底で、同じ線形部分空間への写像であれば、そういう風に求められるということが書いてあった気がしたので・・・）

第一、なんで直線h の切片 情報が使われていないかがわかりません＾＾；
問題をかなり変に解釈してしまっているのだと思いますが、これはどういうことなのでしょうか。

アドバイスをお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： 31415926 回答日時： 2005/06/14 21:14

これは(質問にあるままでは)問題がおかしいと思います．

hは原点を通らない直線なので自然には線型空間とは
思えません．で，題意の変換はV^2の元を直線h上に
(gに平行な移動により)移していると読めますが，
これでは線型変換になりません．
(原点が原点に移らないため．)
実際にはこれはアフィン変換(線型変換と平行移動の合成)
となっています．

なので，
>なんで直線h の切片 情報が使われていないかがわかりません＾＾；
という疑問は当然であります．

というわけで，問題としては
h: x+2y=0
と直すべきだと思います．

さて，そう直した場合，
λa1 + μa2 = e1　　・・・(*)
λ'a1 + μ'a2 = e2　・・・(**)
と式を立てると，この線型変換の定義により
e1, e2はμa2, μ'a2に移るわけです．
(μa2, μ'a2はh上にあり，また，e1-μa2, e2-μ'a2は
gと平行なので)
そうすると題意の行列AはAe1 = μa2, Ae2=μ'a2を
満たす行列なのでA = A[e1 e2] = [μa2, μ'a2]と
なります．

なお，ytseさんの
>座標系Γの点 X=(x1, x2)を条件にしたがって平行射影し、
>h上にのっかた点を Y=(y1, y2)として
>
>Y = AX
>
>となるような線形変換のAを求めればいいのかな？なんて思っていたのですが・・・。
>(表現行列は、基底が自然基底で、同じ線形部分空間への写像であれば、そういう風に求>められるということが書いてあった気がしたので・・・）

という意見は全く正しいです．これは平面上の全ての点Xに対して
その行き先Yを求めることにより線型変換の表現行列を求めていることになります．
これは定義通りの考え方です．

しかし一方，線型変換というのはある基底の行き先さえ決まれば一意に決まる
わけですから，e1,e2の行き先さえ計算できれば線型変換の表現行列は求まる
はずです．この考えに基づいた解答が解説の解答です．こっちの方が計算が
簡単だと思いますし，大事な考え方だと思いますので，こちらにも慣れておいた
方がよいと思います．

この回答へのお礼

非常にわかりやすいご説明、助かりました。

>(原点が原点に移らないため．)
言われてみて、あホントだと気がつきました＾＾；
ただ、これと同じような問題が他にもいくつかのっているのでなんなんだろうと思ってしまいます。

アルフィン変換というものも勉強させていただきました。
また、自分の見解が合っていたとのお言葉にホッとしています（線形代数が苦手なので・・)。

本当にありがとうございました。

お礼日時：2005/06/19 23:05