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fx(0,0)=lim[x→0] (f(x,0)-f(0,0))/x=lim[x→0] (x/2)/x=1/2
fy(0,0)=lim[y→0] (f(0,y)-f(0,0))/y=lim[y→0] (-y)/y=-1
したがって、(全)微分可能なら、次の式の √(x²+y²) → 0 の極限が
0になる。
A=|f(x,y)-f(0,0)-x/2+y|/√(x²+y²)
=|(2x³-y³)/(4x²+y²)-0-x/2+y|/√(x²+y²)
ここで x=yとすると
A=|x³/5x²-x/2+x|/(√2|x|)=|1/5-1/2+1|/√2≠0
したがつて、(全)微分可能でない。
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