数学Ⅱの問題です。 解説お願いしたいです。 f(x)=x^3+ax^2+bx+cは、x=αで極大値M

数学Ⅱの問題です。
解説お願いしたいです。

f(x)=x^3+ax^2+bx+cは、x=αで極大値M、x=βで極小値mをとる。

Mーmを、a,bを用いて表せ。

質問者からの補足コメント

• 答えは
  
  Mーm=4/27√(a^2ー3b)3

    補足日時：2018/11/23 20:38

No.3 ベストアンサー 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2018/11/24 09:25

f(x)=x^3 + ax^2 + bx + cは極大値-極小値間は減少、他は増加する三次関数なので、αとβの関係はα<βとなります。

f(x)の導関数をf'(x)とすると、f'(x)=3x^2 + 2ax + b
f'(x)=0のときに極大値、極小値になるので、3x^2 + 2ax + b=0
二次方程式の解の公式からx=(-2a±√(4a^2 - 12b))/6=(-a±√(a^2 - 3b))/3

極大値、極小値をもつので、4a^2 - 12b>0になり、α<βから
α=(-a-√(a^2 - 3b))/3
β=(-a+√(a^2 - 3b))/3

また、αとβから以下が導き出せます。
α+β=(-2/3)a
αβ=(1/3)b
α-β=(-2/3)√(a^2 - 3b)

M=f(α)=α^3 + aα^2 + bα +c
m=f(β)=β^3 + aβ^2 + bβ +c

M-m=(α^3 - β^3) + a(α^2 - β^2) + b(α-β)
=(α-β)(α^2 + αβ + β^2) + a(α-β)(α+β) + b(α-β)
=(α-β)((α+β)^2 - αβ) + a(α-β)(α+β) + b(α-β)
=(α-β)((α+β)^2 - αβ + a(α+β) + b)
=(-2/3)√(a^2 - 3b)((4/9)a^2 - (1/3)b - (2/3)a^2 + b)
=(-2/3)√(a^2 - 3b)((-2/9)a^2 + (2/3)b)
=(2/3)√(a^2 - 3b)((2/9)a^2 - (6/9)b)
=(4/27)(a^2 - 3b)√(a^2 - 3b)
=(4/27)(a^2 - 3b)^(3/2)

ゆえに、M-m=(4/27)(a^2 - 3b)^(3/2)

No.2 回答者： aco_michy 回答日時： 2018/11/23 21:45

f(α)=α^3+aα^2+bα+c=M

f(β)=β^3+aβ^2+bβ+c=ｍ
M-mは、
α^3+aα^2+bα+c-(β^3+aβ^2+bβ+c)
=α^3-β^3+aα^2-aβ^2+bα-bβ
=(α-β)(α^2+αβ+β^2)+a(α^2-β^2)+b(α-b)
=(α-β)(α^2+αβ+β^2)+a(α-β)(α+β)+b(α-b)
=(α-β)(α^2+αβ+β^2+a(α+β)+b)
=(α-β)(α^2+αβ+β^2+a(α+β)+b)
=(α-β)((α+β)^2-αβ+a(α+β)+b)…*

ここで、αとβは、
極値をとるx座標だから
元の関数を微分したもののf'(x)=0の解で
3x^2+2ax+b=0
の解がαとβです。
解と係数の関係から
α+β=-2a/3…(1)
αβ=b/3…(2)
*の式を見るとα-βの値を調べれば、いけそうです。
(α-β)^2=α^2-2aβ+β^2=(α+β)^2-4αβ=(-2a/3)^2-4(-4b/3)=4a/9+16b/3
∴α-β=-√（4a/9+16b/3）(∵α<β)…(3)
すいません。今日は、ここまでになります。
明日、リトライできれば、させていただきます。

No.1 回答者： kairou 回答日時： 2018/11/23 20:29

f(x) の x³ 係数が + ですから、

f’(x)＝0 として x の値を求めれば、
小さい方が β、大きい方が α になりますね。
そこから M-m は 簡単に計算できるのでは。