aは定数とし、関数y=x^2+2(a-1)x (-1≦x≦1)について最大値を求めよ この問題の答え

aは定数とし、関数y=x^2+2(a-1)x (-1≦x≦1)について最大値を求めよ
この問題の答え方で二つの場合分けで答えても大丈夫なんですか？

No.1 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/03/27 20:56

関数

f(x)=x^2+2(a-1)x (-1≦x≦1)
のグラフは下に凸だから
x=1かx=-1のどちらかで最大となるから

f(-1)≦f(1)の場合3-2a=f(-1)≦f(1)=2a-1,4≦4a,1≦a
と
f(-1)>f(1)の場合3-2a=f(-1)>f(1)=2a-1,4>4a,1>a
の
二つの場合分けで答えて大丈夫

No.3 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2022/03/27 21:23

aの値によって変わるから分けないと正解になりません。

2つでは無くて、３つの場合に分ける。
平方完成形に変形すると
y=(x+a-1)²-(a-1)²

下に凸でグラフ軸はx=-(a-1)=1-a

１．軸が-1と1の中間、つまり0なら-1と1で同じ最大値
軸は1-aだから1-a=0よりa=1
a=1の時y=x²だから、最大値は1²=(-1)²=1

２．軸が0より右側だったら、x=-1の時が最大
軸は1-aだから1-a>0の時と言うのは、a<1
a<1の時は、最大値=(-1+a-1)²-(a-1)²=-2a+3

３．軸が0より左側だったら、x=1の時が最大
軸は1-aだから1-a<0の時と言うのは、1<a
1<aの時は、最大値=(1+a-1)²-(a-1)²=2a-1

No.2 回答者： kairou 回答日時： 2022/03/27 21:16

「二つの場合分けで答えても大丈夫」じゃなくて、

二つに分けて 答えなければ なりません。

y=x²+2(a-1)x=(x+a-1)²-(a-1)² をグラフに書くと、
下に凸な放物線で、軸が x=-a+1 になります。
従って -a+1≧0 つまり a≦1 のとき x=-1 で 最大値を取ります。
-a+1<0 つまり a>1 のとき x=1 で 最大値を取ることになります。