至急！！二次関数について aは定数とする。関数y=-x²+2ax-4a+1（-1≦x≦2）の最小値を

至急！！二次関数について
aは定数とする。関数y=-x²+2ax-4a+1（-1≦x≦2）の最小値を求めよ。解答だけでも良いのでどなたかご教示お願いします！！！

No.4 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2023/06/28 14:26

No.1 です。

グラフを描いてみれば、下記のとおり。
あとは、これで「最小」となるところがどこかを見つけて、そこの値を計算すればよい。

結果として
a<0.5 のとき、x=2 で最小となり、最小値は -3
a>0.5 のとき、x=-1 で最小となり、最小値は -6a

a=0.5 のとき、x=-1 および x=2 で最小となり、最小値は -3

これは、上の2つのどちらに含めても満足するので、どちらかに含めればよい。たとえば
a<0.5 のとき、x=2 で最小となり、最小値は -3
a≧0.5 のとき、x=-1 で最小となり、最小値は -6a
（a=0.5 のときには、最小値 -6a = -3 となるので、等号は上に含めてもよい）

No.5 回答者： kairou 回答日時： 2023/06/28 14:45

y=-x²+2ax-4a+1 (-1≦x≦2) 。

先ず グラフを考えます。それには 平方完成します。
y=-(x²-2ax+a²-a²)-4a+1=-(x-a)²+a²-4a+1 。
つまり 上の凸な放物線で 軸が x=a であることが分かります。
従って 頂点座標は 最小値にはなり得ないことが分かりますね。
つまり 定義域の両端 x=-1, x=2 で 軸より 離れている方が
最小値を取ることになります。
つまり a の値で 場合分けすることになります。
グイラフと合わせて考えると 分かり易いと思います。
計算は ご自分で どうぞ。
（尚、回答された式は 丸写し しないでね。）

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/06/28 13:22

-1≦x≦2

y=f(x)=-x^2+2ax-4a+1

f(-1)=-1-2a-4a+1=-6a
f(2)=-4+4a-4a+1=-3

-6a<-3のとき
3<6a
1/2<aのとき最小値-6a

-3≦-6aのとき
6a≦3
a≦1/2のとき最小値-3

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2023/06/28 08:31

2次関数f(x)の軸は-a、つまりx=-aで関数は極小値になります。

故に、-1≦-a≦2 なら f(-a)が最小値
軸が定義域の範囲外なら軸に近い定義域の端で最小になるので
-a<-1 ならf(-1)が最小値
2<-aならf(2)が最小値

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2023/06/28 00:21

二次関数の最大最小問題は、「平方完成」形を作るのが基本です。

y = -x^2 + 2ax - 4a + 1
　= -(x - a)^2 + a^2 - 4a + 1

このグラフは
・上に凸の放物線
・頂点は (a, a^2 - 4a + 1)
・軸は x = a
ということがわかる。

あとは、それと「-1≦x≦2　　①」の定義域との関係を調べればよいです。

放物線の軸が①の範囲の左側にあれば（つまり a<-1）、①の範囲では単調減少なので、最小値は x=2 のとき。

放物線の軸が①の範囲の右側にあれば（つまり 2<a）、①の範囲では単調増加なので、最小値は x=-1 のとき。

ちょっと面倒なのは、放物線の軸が①の範囲内にあるとき。
放物線の軸が①の範囲内で、①の範囲の中央よりも左側にあれば（つまり -1≦a<0.5）、最小値は x=2 のとき。
放物線の軸が①の範囲内で、①の範囲の中央よりも右側にあれば（つまり 0.5<a≦2）、最小値は x=-1 のとき。
放物線の軸が①の範囲の中央のとき（つまり a=0.5）、最小値は x=-1, 2 のとき。

グラフを描いて考えれば分かるよね。