なぜ、数学の別解は同じ答えに帰着するのでしょうか？数学における問題の考え方、捉え方は沢山あると思い

Question

なぜ、数学の別解は同じ答えに帰着するのでしょうか？
数学における問題の考え方、捉え方は沢山あると思います。出発地点は違くても答えが全く同じになることに不思議さを感じてなりません。"どれから出発しても同じ答えにたどり着く"こういうのを考えた昔の偉人達とかいたりするのでしょうか？

kannnami · Accepted Answer

私は物理が専門でしたから、数学や、数学者の本当の奥底は知りません。数学は道具として使いますけれど、数学専門の方から見ると、めちゃくちゃな使い方をしていると言われます。そのたびに、学問というものの、奥の深さを覗いたような気になります。
あなたは、別解があることに「不思議さ」を感じる、と言っておられます。その言葉を信用します。それは作って言えるセリフではないと思います。もし数学がお好きでしたら、そう感じることがさらに理解を深める一歩となるでしょう。
数学の専門家に聞いたことがあります。数学では、ある定理の別解の存在を発見することが、ほとんど最初の解を見つけることと同じくらいの価値があるそうです。その奥の「心」は私にはわかりません。でも、私の解釈では、それは「数学」という学問体系が「全体として矛盾を含んでいない」ということを示しているからなのです。ある学問体系が「矛盾を含んでいない」というのは一見当たり前のように思えます。でも、数学が全体として矛盾を含んでいないということは実は証明できていないのです。それどころか、そういう証明は出来ない、ということが証明されています（ゲーデルの不完全性定理、で検索してみてください）。これは困ったことです。
だから、数学の全分野はお互いにかかわりを持ち、どこから出発しても、同じ結論に到達する、ということは（数学にとっては）極めて大切なことなのです。それが出来るたびに、数学に対する（学としての）全体の信頼性が確認されるからです。
こういうことは、自然科学以外の学問ではありません。経済学がいろいろな見方を持ち、そのどれが正しいともいえないことは、多分知っているでしょう。人間に関わるとこういうことになります。人間というものはもともと矛盾の塊みたいなものですからね。
数学は純粋な論理構造のみから成る、自然科学の王者として、絶対の「正しさ」を持っていなければならないのです。
理解するのはなかなか難しいかもしれません。少しでも分かっていただければと思って書きました。
久しぶりで、アカデミックなことに触れた問答が出来て、とてもうれしく思っています。

usa3usa · Answer

＞なぜ、数学の別解は同じ答えに帰着するのでしょうか？
そのような性質のものをかき集めたのが数学だから
という理解ではダメ？

ji6 · Answer

「問題を解く」とは
「条件が規定する結果を考察する」「条件の表す集合の共通部分を求める」
ことでしょう。

解が一意的に定まらない場合は、条件を補足して解をまとめることになります。

「同じ条件からスタートして、異なる経路を辿ると異なる結果になる」場合は、
条件の共通部分を求めようとしていないように感じます。

同じ集合の共通部分が、手法によって変化する場合は、条件設定を見直す必要があります。

私は、異なる手法で同じ結果が導かれることに、数学の奥深さを感じます。
次のようなイメージがあります。

「数」の世界には、簡単には見えない抽象世界が広がっており、
そこでは複雑な条件を、簡単な１つの方程式で表すことができる。
それを見ることのできる人が、それぞれの表現でまとめている。

「同じ条件の下でも、観察が結果に影響する」は「量子」の世界では事実のようです。

banzaiA · Answer

山に登るときに、どの登山口から出発しても、山の頂には一つだから、同じ場所にたどり着く。
同じですよね。

sasa-san · Answer

同じ答えに帰着しない例なら知っていますよ。
０の0による除算ですね。
不思議なことに、計算の仕方によって０にも１にも∞にもなります。
なので、当然ながら 0/0 は未定義になっています。

解が一意であるということを証明するには、
考え方に寄らず同じ解にたどり着かないといけません。
あなたの言葉をそのまま使うのであれば、
「どれから出発しても同じ答えにたどり着く」のが数学なのです。

たとえば、スーパーコンピュータによる円周率の演算があります。
2種類以上の計算方法を用いて、
ある桁の数値が同じだと確認できてようやく
その桁まで正しく計算できたとしています。

裏を返せば、もし計算方法が1通りだけだったとしたら
その桁まで正しく計算できたかどうかがわかりません。
つまり2通り以上あって初めて解が正しいかを確認できるわけです。

そして、その計算方法・考え方を見つけることこそが数学です。

不思議に思うかもしれませんが、
数学だからこそ、解にたどり着くための別の過程が存在するのです。

angkor_h · Answer

自然科学は、アプローチが変わっても同じであることが基本です。
違う答えにたどり着いたら、そのアプローチが失敗と言うことです。
例えば、ニュートン力学は、後の相対論でも正しさが証明されたのは、
同じ結果になるからです。

head1192 · Answer

学部までの数学の問題は、一つの答えにたどり着くことを前提に作られています。
入試の出題ミスがニュースになるように、答えが２つ以上あるものは問題として失格です。
したがって、どういうコースをたどっても一つの答えにたどり着くのは必然といえます。

院以上の研究となれば未解明の問題に取り組むことになります。
この場合用意された答えというものはありません。
したがって、解けない微分方程式のように、予想を裏切ったり答えにたどり着けなかったりするものも出てきます。

濃いのり塩 · Answer

2と4を足すと6になる。
という事象と
2と3を掛けると6になる。
という事象の道のりが違うことに疑問を感じますか？

さすらいの桃太郎 · Answer

出発点とゴールが同じでも、途中の道のりは色々ある、ということですよね。
不思議というより、この世の事象を色々な角度から見ている、あるいは分野の違うものが互いに共通する面を持っている、そういうことだと思っています。

なぜ、数学の別解は同じ答えに帰着するのでしょうか？ 数学における問題の考え方、捉え方は沢山あると思い

私は物理が専門でしたから、数学や、数学者の本当の奥底は知りません。

＞なぜ、数学の別解は同じ答えに帰着するのでしょうか？

「問題を解く」とは

山に登るときに、どの登山口から出発しても、山の頂には一つだから、同じ場所にたどり着く。

同じ答えに帰着しない例なら知っていますよ。

自然科学は、アプローチが変わっても同じであることが基本です。

学部までの数学の問題は、一つの答えにたどり着くことを前提に作られています。

2と4を足すと6になる。

出発点とゴールが同じでも、途中の道のりは色々ある、ということですよね。

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