算数の問題です。

教員採用試験の勉強中なのですが、算数の問題(小学校の教員志望なので、試験にあります。)でわからない問題があります。解答解説を読んでも理解できないので、力をお借りしたいです。よろしくお願いします。


[問題]
5で割ると3余り、6で割ると2余る整数のうち、2001に最も近い整数を求めよ。


です。ちなみに、解答解説には
5＋3=8、6＋2=8
5と6の最小公倍数は30だから、5で割ると3余り、6で割ると2余る整数は、30で割ると8余る数になる。
2001÷30=66余り21より、30×66＋8=1988

と書いてありました。理解できません…。

ご教授お願いします。

No.7 回答者： uetoaya 回答日時： 2012/05/30 01:47

算数で解いてみます。

くどかったらお許しを。

◎手順１：それぞれの数を小さい順に、２つがそろうまで調べる。
5で割ると3余る整数＝8、13、18、23、・・・・
6で割ると2余る整数＝8、14、20、26、・・・・

この問題はいきなり「8」でそろってしまいます。（貴殿の解答の「5＋3=8、6＋2=8」の意味です。）

◎手順２：「割る数」どうしの最小公倍数を求める。
割る数は5と6なので、最小公倍数は30です。

◎手順３：求める数の性質を知る。
手順１で求めた数字「8」に手順２で求めた数字「30」の倍数を足した数が、「5で割ると3余り、6で割るると2余る整数」となります。
8、38(8＋30)、68(8＋30×2)、98(8＋30×3)、128(8＋30×4)、・・・・・
(たとえば、128÷5＝25余り3、128÷6＝22余り2)

◎手順４：2001前後の30の倍数を求める。(8に30の倍数を足していくのは大変なので）
2001に近い30の倍数＝2001÷30＝66余り21　より、30×66（または2001－21)＝1980
1980が2001の前の30の倍数。
2010が2001の後の30の倍数。

◎手順５：手順４で求めた数に「8」を足し、2001に近い方が答え。
1980＋8＝1988(2001との差13)
2010＋8＝2018(2001との差17)

よって、答えは1988

No.6 回答者： noname#155159 回答日時： 2012/05/30 00:17

no4です。

5(aー1)=6(bー1) (a,bは整数)
ということはつまり、5でも6でも割りきれる数ということです。
当てはまるのは、5と6の最小公倍数である30の倍数です。

No.5 回答者： Willyt 回答日時： 2012/05/29 22:00

　５で割って３余る数は末尾の桁が３または８ですが、６で割ると２余る整数は偶数ですから、末尾が８の数字だけを探せばいいということになりますね。

そこで最小公倍数３０の余りが８になる数を探せばいいのです。だから３０で割り切れる数はもちろん末尾がゼロですから２００１に最も近い３０の倍数は１９８０。これに８を加えた１９８８が答えになるという筋道です。

　別解としては２００１÷６＝３３３余り３　となり、２００１に最も近い６の倍数は１９９８　するとあまり２はちょうど２０００ということになります。これは末尾が８ではないのでここから６を順次引いて行くと１９９４　１９８８　となり、末尾が８の数字に行き当たります。従って２００１に最も近い数は１９８８となります。なお、２００１を超えてもいいなら２００６、２０１２　２０１８　となり　２０１８がその候補になりますが、１９８８の方が２００１に近いですから、やはり答えは１９８８ということになりますね。

No.4 回答者： noname#155159 回答日時： 2012/05/29 21:44

5で割ると３余る数を5a＋3 6で割ると２余る数を6b＋2

5a＋3=6b＋2
5(aー1)＋8=6(bー1)＋8
5(aー1)=6(bー1)で30の倍数ですから求める整数は
30の倍数に8足した数だとわかるのです

この回答へのお礼

ありがとうございます！なんとかわかりそうです。

できればなぜ
5(a-1)=6(b-1)が30の倍数といえるのか教えていただきたいです…

お礼日時：2012/05/29 21:52

No.3 回答者： noname#175750 回答日時： 2012/05/29 21:38

「中国人の剰余定理」ですかね

中国の古い算術書にそのような問題と解説があったのが始まりだっけ





「Aで割るとa余りBで割るとｂ余る数」　に当てはまる数は沢山ありますが、当てはまるものを１つだけ探します。

Xとします。Xは整数


「Aで割るとa余りBで割るとｂ余る数」という数は　「A×Bで割るとX余る数」　と表されるんです。
理屈は分かんなかったので自分は覚えました

ということは、


「Aで割るとa余りBで割るとｂ余る数」＝■×A×B＋Xという数です。



■×A×B＋Xという数のうち１番２００１に近いものを答えればいいんです


ちなみに、AとBは互いに素であるのが前提の定理なんですが、そもそもAとBが互いに素じゃないと問題は出ないと思うんで、ま、知らなくてもいいけど

この回答へのお礼

なるほど…
なんとか粘って考えてみます！

ありがとうございました！非常に助かりました!!

お礼日時：2012/05/29 21:53

No.2 回答者： halcyon626 回答日時： 2012/05/29 21:38

ちょっと頭の中で条件を満たす整数を並べてみると、８、３８、６８、・・・

となっていきます。
つまり答えは、Ｘ＋８になるワケです。

で、次にＸですが、このＸは５でも６でも割り切れる値にならなければなりません。
でなければ、５で割って３、６で割って２余る数にはなりません。
なのでＸは、５と６の最小公倍数の３０を用いた値、３０Ｙとなります。

ここまでくると何となく分かりますが、
５と６で割り切れる３０Ｙと８を足すと、必然的にその数は、題意を満たすことが分かります。

題意に、5で割ると3余り、6で割ると2余る整数とありますので、
５と６で割り切れる３０の倍数に、８を足せば、題意を満たすじゃん！という発想でしょう。
前条件が少ないので、題意とその数字から機転を利かせる作りになっています。

参考までに、

この回答へのお礼

あー！なるほど!!
スッキリです！
ありがとうございました！

お礼日時：2012/05/29 21:55

No.1 回答者： noname#157574 回答日時： 2012/05/29 21:20

5で割ると3余り、6で割ると2余る自然数のうちで最小のものは8だから

1988より30大きい数は2018
ここで2001－1988＝13，2018－2001＝17だから
1988の方が2001に近い

この回答へのお礼

ありがとうございました。

粘って考えてみます！

お礼日時：2012/05/29 21:56