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微積の問題でe^x・log(1+x^2)をマクローリン展開せよ。という問題がありました

e^xとlog(1+x^2)にわけそれぞれマクローリン展開してかければいいのはわかるのですが
この二つを掛け算してまとめてうまく答えにもっていくことができません

二つの掛け算から答えにもっていく方法の解説をお願いします

ちなみに答えは
x^2+x^3+・・・・・・
です

教えて!goo グレード

A 回答 (2件)

>e^xとlog(1+x^2)にわけそれぞれマクローリン展開してかければいいのはわかるのですが



それでよいでしょう。

e^x=1+x+x^2/2+x^3/3!+x^4/4!+x^5/5!+…+x^n/n! + …
log(1+x^2)=x^2-x^4/2+x^6/3-x^8/4+x^10/5
 + … +((-1)^(m+1))(1/m)x^(2m) + …

>この二つを掛け算してまとめてうまく答えにもっていくことができません
>二つの掛け算から答えにもっていく方法の解説をお願いします

e^x*log(1+x^2)
=(1+x+x^2/2+x^3/6+x^4/24+x^5/120+…)
*(x^2-x^4/2+x^6/3-x^8/4+x^10/5 + …)

log(1+x^2)の方の括弧をばらして、

=x^2*(1+x+x^2/2+x^3/6+x^4/24+x^5/120+…)
-x^4*(1/2)(1+x+x^2/2+x^3/6+x^4/24+x^5/120+…)
+x^6*(1/3)(1+x+x^2/2+x^3/6+x^4/24+x^5/120+…)
-x^8*(1/4)(1+x+x^2/2+x^3/6+x^4/24+x^5/120+…)
+x^10*(1/5)(1+x+x^2/2+x^3/6+x^4/24+x^5/120+…)


xの次数の低いから高い方へ各次の項の係数を順に拾って行くと

=x^2+x^3+(1/2-1/2)x^4+(1/6-1/2)x^5+(1/24-1/4+1/3)x^6 + …
=x^2+x^3-(1/3)x^5+(1/8)x^6 + …    ←答え
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます

途中式を書いていただけてとてもわかりやすかったです

やっとわかりました
ありがとうございます

お礼日時:2013/07/27 11:53

Σ[j=0→∞]a(j)(xのj乗) ・ Σ[k=0→∞]b(k)(xのk乗)


= Σ[n=0→∞]{Σ[j=0→n]a(j)b(n-j)}(xのn乗)
左辺のふたつの Σ の、どの項とどの項を掛けたら
xのn乗 が生じるかを考えたらいい。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます

xでまとめたらいいということですね

助かりました

お礼日時:2013/07/27 11:49

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