局所コンパクト空間になることの必要十分条件についての質問

Xをσコンパクトな局所コンパクトハウスドルフ空間、EをXの部分集合とします。このとき、

Eが相対位相で局所コンパクト⇔EはCl(E)の中で開集合　(Cl(E)はEの閉包)

となることを示したいのですが、どのようにすればよいのでしょうか。

まずは、右から左を示そうと思い、開集合の定義から、Eの任意の点ｘに対してある近傍U_xで、
U_x⊆Eとなるものを取ってこれがコンパクト近傍となってくれればいいと思ったのですが、ここから先ができません。
左から右に関しては、局所コンパクトなことからEの任意の点xに対して、コンパクト近傍K_xが取れ、この近傍がEに含まれるということからEは開集合であるということでいいのでしょうか。

よろしくおねがいします。

No.3 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/03/27 20:35

(定理1.1)コンパクト空間の任意の閉集合はコンパクトである

(定理1.2)ハウスドルフ空間のコンパクト部分集合は閉集合である
(定理2.1)
ハウスドルフ空間Xの
コンパクト部分集合Kに属さない点
x∈X-K
に対して
x∈U
K⊂V
U∩V=φ
となる開集合U,Vが存在する
--------------------------------------------------------
F=cl(E)とする
EをFの開集合とする
Xは局所コンパクトだから
任意の点x∈Eに対して
xの近傍(K_x)でコンパクトなものがある
M_x=F∩K_x とする
(定理1.1)から
コンパクト空間(K_x)の閉集合(M_x)はコンパクト
だから
(定理1.1)から
コンパクト空間(M_x)の閉集合((M_x)-E)はコンパクトだから
(定理2.1)から
x∈E∩K_x⊂(M_x)-((M_x)-E)
に対して
x∈U⊂M_x
((M_x)-E)⊂V⊂M_x
U∩V=φ
となる開集合U,Vが存在するから
U⊂(M_x)-V⊂E
(定理1.1)から
コンパクト空間(M_x)の閉集合((M_x)-V)はコンパクトだから
(定理1.2)から
コンパクト集合((M_x)-V)は閉集合だから
cl(U)⊂(M_x)-V⊂E
(定理1.1)から
コンパクト空間(M_x)の閉集合(cl(U))はコンパクトだから

cl(U)はxのEでのコンパクト近傍となるから
∴
Eが局所コンパクト

この回答へのお礼

回答していただきありがとうございます。
おかげさまで理解することができました。

お礼日時：2022/03/28 00:41

No.2 回答者： rinkun 回答日時： 2022/03/25 21:48

下記URLのリンク先に記載があるように、

(定理) 局所コンパクトハウスドルフ空間Xの部分空間Eについて
　Eが局所コンパクト ⇔ ∃C:Xの閉集合, ∃O:Xの開集合[E=C∩O]
が言えます。
閉包Cl(E)がXの閉集合であることは明らかなので特にCl(E)自身は局所コンパクトハウスドルフ空間です。
X=Cl(E)について上の定理を適用すると
Eが局所コンパクト ⇔ ∃C:Cl(E)の閉集合, ∃O:Cl(E)の開集合[E=C∩O]
ここで閉包の定義によりCl(E)⊆CなのでC=Cl(E)。
従ってEが局所コンパクトなとき、E=OはCl(E)で開集合となります。
また逆にEが開集合なときEは局所コンパクトです。

なお上記定理はNo.1で書かれている(定理1)(定理2)を一部として含みます。
また質問でのXがσコンパクトという条件は不要なようです。
さらにXが局所コンパクトでなくてもハウスドルフ空間なら⇒は言えるが⇐は言えないとリンク先に記載があります。

# Wikipedia: 局所コンパクト空間#性質
# https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B1%80%E6%89%80 …

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/03/25 20:13

(定理1)局所コンパクト空間の任意の閉集合は相対位相で局所コンパクトになる

(定理2)局所コンパクト空間の任意の開集合は相対位相で局所コンパクトになる

(←)
EはCl(E)の中で開集合とすると

(定理1)から
cl(E)は局所コンパクト空間Xの閉集合だから
cl(E)は相対位相で局所コンパクト

(定理2)から
Eは局所コンパクト空間cl(E)の開集合だから
∴
Eは相対位相で局所コンパクト
----------------------------------------
(→)
左から右に関しては、
局所コンパクトなことからEの任意の点xに対して、
コンパクト近傍K_xが取れ、
この近傍がEに含まれるけれども
この近傍はEの相対位相での近傍なので

x∈int_{E}(K_x)
の
int_{E}(K_x)
は
Eの開集合であって
cl(E)の開集合ではないので

Eが開集合とはいえません

x∈int_{cl(E)}(K_x)⊂K_x⊂E⊂cl(E)
となるような
(cl(E)での)コンパクト近傍K_xが取れれば
Eが開集合といえます