ハイネボレルの被覆定理、内田伏一著 「集合と位相」定理22.1

p109の定理22.1の証明について、内容は自分にもフォローが出来て、その意味では納得したのですが、このような論理を積み重ねなくとも下記のような証明ではダメなのでしょうか？恥ずかしながら何もわかってなくてこんな質問ができるに違いないと思うのですが、どこがダメなのかをお教えくださればありがたく思います。
＜証明案＞
閉区間[a,b]に関して、x1<a<x2<x3<b<x4 なる実数x1,x2,x3,x4を取ることができる。
あきらかに[a,b]⊂(x1,x3)⋃(x2,x4)とできる。すなわち２個の開区間(x1,x3),(x2,x4)で被覆することができる。したがって閉区間[a,b]はコンパクトである。

質問者からの補足コメント

• さっそくのコメントをありがとうございました。自分が何を理解していなかったか、が見えてきた気がします。p108に「部分集合Aの任意の開被覆が有限な部分被覆を持つとき」と書いてありました。これを今の問題に置き換えてみると、[a,b]を被覆する無限個の開区間の集合があるとすれば、その有限個の部分集合で[a,b]を被覆できるものが必ずある、という意味なのですね？

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2022/07/07 18:09

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/07/07 12:36

[a,b] に有限被覆が存在することを言うだけなら、

(x1,x4) でもよいわけで...

そういう話じゃなくて、 [a,b] に開被覆があれば
その部分被覆で有限被覆になっているものが在る
ってことなんだけどな。

この回答へのお礼

ありものがたりさま、理解できました。前に進めたことがうれしいです。大変ありがとうございました。助かりました。
kojiroSasaki

お礼日時：2022/07/08 06:31