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リンデレーフの被覆定理

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質問者：mathstudent
質問日時：2017/10/03 01:39
回答数：2件

大学数学、位相空間論の質問です。

リンデレーフの被覆定理を用いて、任意のRの開集合は可算個の開区間の和集合で表せることを証明する方法をご存知のかたはいませんでしょうか？

ただ単に、任意のRの開集合が可算個の開区間の和集合で表せる証明は、ネットで調べればすぐに出てきたのですが、リンデレーフの被覆定理を使って証明する方法は見当たりませんでした。

証明法をご存知の方、またはそれが載っている本などを知っている方はご回答お願いします。

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回答 (2件)

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No.2ベストアンサー

回答者： rinkun
回答日時：2017/10/03 08:31

リンデレーフの被覆定理:

R^nの開被覆から高々可算個の部分集合で開被覆になっているものを取れる。

Rの開集合Xの各点xに対して、Xに含まれる開区間でxを含むものU(x)を取れるのは分かりますか。そのようなU(x)の全体{U(x)}はXの開被覆になっていますので、リンデレーフの被覆定理により可算個のU(x_n)でXの開被覆になっているもの{U(x_n)}があります。
各U(x)はXに含まれていますので、∪{U(x_n)}＝Xです。各U(x_n)は開区間なのでXは可算個の開区間の和集合で表せています。