ラプラス変換について

例：
f(t)=tsinωtとします。L(f)を求めます。
f(0)=0です。また、
f'(t)=sinωt+ωtcosωt f'(0)=0
f''(t)=2ωcosωt-ω^2tsinωt=2ωcosωt-ω^2f(t)
であるので、
L(f'')=2ωL(cosωt)-ω^2L(f)=s^2L(f)
となる。cosωtについてのラプラス変換公式を用いると、
(s^2+ω^2)L(f)=2ωL(cosωt)=2ωs/(s^2+ω^2)
となる。したがって、結果は、
L(tsinωt)=2ωs/(s^2+ω^2)^2
である。

ここまでが例です。

また、
L(tcosωt)=(s^2-ω^2)/(s^2+ω^2)^2←公式
です。

例と公式を使って、
L^-1{1/(s^2+ω^2)^2}=(1/(2ω^3))(sinωt-ωtcosωt)
を証明してください。

右から、左はできますが、左から右の証明ができません。

また、例と公式を使って、
L^-1{s^2/(s^2+ω^2)^2}=(1/2ω)(sinωt+ωtcosωt)
の証明もお願いします。

左から右の証明をお願いします。

ちなみに、例や公式の証明は分るので、例や公式の説明をいちいちしてもらわなくても大丈夫です。

分りやすい解説をお願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： OKXavier 回答日時： 2010/11/10 18:35

1/(s^2+ω^2)^2

を部分分数に分解して

1/(s^2+ω^2)^2
=-1/(4ω^2){2(s^2-ω^2)/(s^2+ω^2)^2}+1/(4ω^3){2ω(s^2+ω^2)}
=-1/(ω^2){(s^2-ω^2)/(s^2+ω^2)^2}+1/(2ω^3){ω/(s^2+ω^2)}

L^-1{1/(s^2+ω^2)^2}
=-1/(2ω^2)L^1{(s^2-ω^2)/(s^2+ω^2)^2}+1/(2ω^3)L^-1{ω/(s^2+ω^2)}
=-1/(ω^2)(tcosωt)+1/(2ω^3)(sinωt)　公式適用
=1/(ω^2)(sinωt-ωtcosωt)

（注意）例では、L(cosωt)=s/(s^2+ω^2)を使っていますが
ここでは、L(sinωt)=ω/(s^2+ω^2)を使います。

２つ目はご自分でやってみて下さい。

この回答へのお礼

部分分数展開ですね。
頭悪いんで思いつきませんでした。
例では、sinのラプラス変換ではなく、cosのラプラス変換を示していますね。
どこで例を使うんでしょうね？
まあ、細かい事は気にしません。

ありがとうございました。

お礼日時：2010/11/11 21:58

No.1 回答者： OKXavier 回答日時： 2010/11/10 09:52

>右から、左はできますが、左から右の証明ができません。

この意味がよく分かりません。
もう少し詳しく補足に書いてみて下さい。

この回答への補足

右の項をラプラス変換して左の答えを導くやり方は分りますが、左から右に逆変換するやり方が分りません。
決して逆変換が分らないわけではありません。
逆変換の仕方は知っています。
しかし、この問題の逆変換の仕方が分りません。
この問題の逆変換は難しいですよね？
分りやすい解説をお願いします。

補足日時：2010/11/10 15:04