tsinωtを部分積分法を用いてラプラス変換してください。お願いします。ωとtのせいでよく分かりませ

tsinωtを部分積分法を用いてラプラス変換してください。お願いします。ωとtのせいでよく分かりません。　可能なら手書きでお願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/10/15 22:17

ラプラス変換の定義に沿って... ということですかね。

L[ t sin(ωt) ] = ∫[0,+∞] t sin(ωt) e^(-st) dt
　= ∫[0,+∞] t { (e^(iωt) - e^(-iωt))/(2i) }e^(-st) dt
　= (-i/2) ∫[0,+∞] t { (e^((iω-s)t) - e^((-iω-s)t) } dt
　= (-i/2){　[　t { (e^((iω-s)t)/(iω-s) - e^((-iω-s)t)/(-iω-s) }　]_(t=0,+ω)
　　　　　- ∫[0,+∞] { (e^((iω-s)t)/(iω-s) - e^((-iω-s)t)/(-iω-s) }dt　}
　　　　； ここが部分積分
　= (-i/2){　{ 0 ‐ 0 }
　　　　　- [　(e^((iω-s)t)/(iω-s)^2 - e^((-iω-s)t)/(-iω-s)^2　]　]_(t=0,+ω) }
　= (-i/2){　0
　　　　　- { (0 - 0) - { 1/(iω-s)^2 - 1/(-iω-s)^2 }　｝
　= (-i/2){　4isω/(ω^2 + s^2)^2　｝
　= 2sω/(s^2 + ω^2)^2.

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2021/10/15 18:18

部分積分？使わないなあ。

f(t)のラプラス変換がF(s)のとき、t f(t)のラプラス変換は -(dF(s)/ds)で、f(t) = sin(ωt)のラプラス変換はF(s) = ω/(s^2 + ω^2)、とやるんです。