1/s(s+a)の逆ラプラス変換と1/（s^2）-（a^2）の逆ラプラス変換の計算を教えてくれません

1/s(s+a)の逆ラプラス変換と1/（s^2）-（a^2）の逆ラプラス変換の計算を教えてくれませんか？
部分分数分解してもよく分かりませんでした…

No.2 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/10/15 22:35

ラプラス変換は、

https://oshiete.goo.ne.jp/qa/12625613.html でもやってみせたように
定義に沿ってコツコツ積分すれば求められます。
逆ラプラス変換も、積分で表示することはできますが、
実際に計算するのはおおごとである場合が多いです。
だから、たいていの場合、逆ラプラス変換は
ラプラス変換表を逆引きして済ませます。
「答え知ってるから、こっちのもん〜」というヤツです。
http://okawa-denshi.jp/techdoc/2-1-4Rapurasuhyou …
↑これでも使って...

L^-1[ 1/(s(s+a)) ] は、
L[ ∫[0,t]f(t)dt ] = (1/s) L[ f(t) ] と
L[ e^(bt) ] = 1/(s-b) から
L[ ∫[0,t]e^(-at)dt ] = (1/s){ 1/(s-(-a)) } = 1/(s(s+a)) であって、
L^-1[ 1/(s(s+a)) ] = ∫[0,t]e^(-at)dt = (-1/a){e^(-at) - 1}
　= {1 - e^(-at)}/a.

L^-1[ 1/（s^2-a^2） ] は、ほぼモロに表にあって、
L^-1[ 1/（s^2-a^2） ] = L^-1[ (1/a)a/（s^2-a^2） ] = (1/a) L^-1[ a/（s^2-a^2） ]
　= (1/a) sinh(at).

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2021/10/15 18:31

F(s)=1の逆ラプラス変換はf(t)=δ(t)

F(s)=1/sの逆ラプラス変換はf(t)=1
F(s)の逆ラプラス変換がf(t)のとき、
　　F(s-c) の逆ラプラス変換は(e^(ct))f(t)
　　F(s)/s の逆ラプラス変換は ∫{0〜t} f(τ)dτ
を使うだけです。ラプラス変換は、定義通りに積分を計算する必要のない応用が大抵。定理を使いこなさないとね。