数3微分についてです。 合成関数の見分け方を教えてください

数3微分についてです。
合成関数の見分け方を教えてください

No.1 回答者： masterkoto 回答日時： 2019/11/12 14:38

f(x)とg(x)と言う関数があるとしてf(x)の値域がg(x)の定義域に含まれているとします

y=f(x),z=g(y)として
z=g(y)=g(f(x)）が合成関数という事でしたよね！

ここでz=6x　とします。これって一見合成関数とは思いませんよね
しかし、これも合成関数です
f(x)=3x,g(x)=2xとするとき
y=f(x)=3x
z=g(y)=2y
だから
z=2y=2(3x)=6x(=g(f(x)＝g(3x)) という合成関数と言うわけ

だから、z=6xなどの諸関数は合成関数と見ても良いし、合成関数ではないという見方もできるというわけです

見分け方と言うよりはf(x)とg(x)の決め方を知りたいというのが質問の趣旨だとすれば、「関数のまとまり」を見つけることです
z=6xの例で言えば6x=2・(3x)と変形してあげると3xがまとまりですから、これがf(x)に相当します→このとき、2・(○○)よりg(y)=2yです
これをz=1.5(4x)とすれば、f(x)=4x,g(y)=1.5yとしてその合成関数がz=1.5y=1.5(4x)=6xであるという見方もできます

z=√(x²+1)ならすぐ思いつくかたまりはx²+1ですから
f(x)=x²＋１
g(y)=√yです
→z=g(f(x))=g(y)=√y=√x²+1

z=sin(3x²+2x+1)なら3x²+2x+1と言うまとまりが目につきやすいですから
f(x)=3x²+2x+1
g(y)=siny
z=g(f(x))=g(y)=siny=sin(3x²+2x+1)

「まとまり」が複数思いつく状況では、使いやすいものを採用です