等式2f(x)+xf'(x)=-8x²+6x-10を満たす二次関数f(x)を求めよ。 この問題何も

等式2f(x)+xf'(x)=-8x²+6x-10を満たす二次関数f(x)を求めよ。

この問題何も考えずに係数比較しちゃったんですけど、、、
よく考えたら何故これが恒等式だと判断出来るんですか？
ex)2x²-x=0⇨1/2x²-x＝3/2x²-0x
みたいに、移行して出来た式の可能性はないのですか？変な質問すみません、、お願いします、、、

No.2 ベストアンサー 回答者： Dr-Field 回答日時： 2016/05/28 06:27

> 何故これが恒等式だと判断出来るんですか？

それはf(x)が関数だから。
> 移行して出来た式
そうであれば、特定のxを求めることになるように思う。ということは、関数ではなくなると考える。

この回答へのお礼

ありがとうございます(^^)

お礼日時：2016/05/28 08:20

No.1 回答者： naochan1155 回答日時： 2016/05/27 21:50

それでは、恒等式でないとしたら、方程式【ある実数ｘについてのみ成り立つ式）というつもりでしょうか？であれば、「等式」とはかかないはずです。

ほうていしきなら、「方程式」2f(x)+xf'(x)=-8x²+6x-10・・・①が解としてαを持つとする。（αは具体的な数字で与えられる）のような問題ならば、①は恒等式ではなく、方程式と判断できます。しかし、本問では「等式」とあるので、恒等式と判断できなければ、問題演習不足だから、このような質問が出ると思います。数学をよくべんきょうしているなら、①は恒等式を言っているのだと瞬時に判断するのが普通です。

恒等式①が成り立つような二次関数f(x)を求める問題です。
＜解＞
a,ｂ,ｃを実数としてf(x)=ax^2+bx+cとおくと、f'(x)=2ax+bだから、①に代入して、2(ax^2+bx+c)+x(2ax+b)=4ax^2+3bx+2c=-8x²+6x-10・・・①が恒等式になるので、各ｘの次数の係数同市が等しいので、
4a=-8,
3b=6,
2c=10から、a=-2,b=2,c=5となるので、f(x)=-2x^2+2x+5・・・（答）

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。自分も質問する前に等式が怪しく思い、調べてみたのですが、恒等式だけでなく方程式でも使うと書いてあったので質問しました。今回の場合は、なぜ等式が恒等式に結びつくのかが理解できないのですけど何故何でしょうか？理解力無くて申し訳ないです。

お礼日時：2016/05/27 22:58