微分・積分

aを実数とする。Ｘ≦０において、つねにX³＋４Ｘ²≦aＸ＋１８が成り立っているものとする。このとき、aの取りうる値の範囲を求めよ。（岡山大学・改題）

　よろしくお願いします。

No.1 回答者： ereserve67 回答日時： 2013/02/06 23:55

X=-xとおくと

『x≧0において常に-x^3+4x^2≦-ax+18⇔ax≦x^3-4x^2+18が成立するとき，aのとりうる値の範囲を求めよ．』

となります．

・x=0のときa0≦18は常に成り立つ．

・x>0のときax≦x^3-4x^2+18⇔a≦x^2-4x+18/xが成立するようなaを求める．

f(x)=x^2-4x+18/x

とおくと，

f'(x)=2x-4-18/x^2=2(x^3-2x^2-9)/x^2

=2(x-3)(x^2+x+3)/x^2=2(x-3){(x+1/2)^2+11/4}/x^2

0<x<3のときf'(x)<0
3<xのときf'(x)>0

x>0においてf(x)の最小値はf(3)=9-12+6=3であるから

x>0のとき3≦x^2-4x+18/x

よってa≦3であればよい．

以上からx≧0で常にax≦x^3-4x^2+18が成り立つためには

（aは任意の実数）かつ（a≦3）

すなわち

a≦3