δ関数に関しての証明問題

タイトル通りδ関数の証明問題なのですが、

(1)δ(ax)=a^(-1)δ(x)

ax=tと変数変換すれば良いらしいのですが、そこからが…。

(2)[c→b]∫δ´(x-a)f(x)dx=-f´(a)　c<a<b

特に(2)がどのようにやったらいいかわからなくてお手上げ状態です。
分かる方ご教授願います。

No.1 回答者： foobar 回答日時： 2007/02/09 05:57

1

∫δ(ax)f(x)dx
を
そのまま、計算したときの結果　と t=axと変数変換して計算したときの結果
を比較してみると、見えてくるように思います。

2
g'(x)=lim_{d->0} {g(x+d)-g(x)}/d
をδ関数に当てはめて、式を書き下して、（積分とlimの順番を変えて）計算すると見えてくるような気がします。

No.2 回答者： foobar 回答日時： 2007/02/09 15:09

#1の訂正

1.ですが
∫δ(x)f(x)dx の結果と
∫δ(ax)f(x)dxでt=axとして計算した結果を
比較すれば・・
に訂正します。

No.3 回答者： ht1914 回答日時： 2007/02/09 20:38

大昔の記憶を便りに書かせてもらいます。

δ関数の定義は
ｘ≠０の時　δ（ｘ）＝０
∫δ（ｘ）ｄｘ＝１
∫δ（ｘ）ｆ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（０）
です。積分区間はｘ＝０を含んでいればどこでも構いません。

（１）ａｘ＝ｔと置きます。
　　∫δ（ａｘ）ｄｘ＝１／ａ
　　∫δ（ｘ）ｄｘ＝１
　　この２つの式よりδ（ａｘ）＝δ（ｘ）／ａ

（２）部分積分をします。
　　∫δ’（ｘ－ａ）ｆ（ｘ）ｄｘ
　　＝∫［δ（ｘ－ａ）ｆ（ｘ）］’ｄｘ－∫δ（ｘ－ａ）ｆ’（ｘ）ｄｘ
　　＝［δ（ｘ－ａ）ｆ（ｘ）］（ｃ→ｂ）－ｆ’（ａ）
　　＝－ｆ’（ａ）

多分これで正しいと思います。