２つの位相が一致することの証明

Question

こんにちは。位相についての質問です。

二次元ユークリッド空間上の単位円周

S = { (x,y) ∈ E^2  |  x^2 + y^2 = 1 }

を考え、 S上の二点 p , q に対し、
　
  d(p,q) = op と oq のなす角度　∈ [0 , π]　　（op , oq はそれぞれ原点と p , q を結ぶ線分）

として、S上の距離を定めます。

このとき、ユークリッド空間からSに定まる相対位相 U と、距離dから定まる位相 Ud が一致することを示せ、というのが問題です。

まず、Ud⊂ U　を示そうと思い、任意にA∈Udを取りました。
A∈Uを言うためには、あるユークリッド空間の開集合Bが存在して 「A = B ∩ S」 となっていることを言えばいいのですが、そのBの作り方がいまいち分かりません。

逆に　U⊂ Ud　を示そうと思いましたが、こちらもBの形がよく分からず示すことができませんでした。

イメージとしては同じようなものになることは分かるのですが．．．
うまく言葉にできず困っています。

分かる方がいましたら回答よろしくお願いします。

metzner · Accepted Answer

こんにちは。

まず一般的な話として、距離空間から定まる位相の開集合Oの定義は、

全てのx∈Oに対して、あるe>0 が存在して、N_e(x)⊂O

ですから、

U_x∈O N_e(x)⊂O

が成立します。ここでN_e(x)はxのe-近傍

N_e(x)={ y | d(x,y)<e }

です。

また x∈N_e(x)ですから、明らかに

O⊂U_x∈O N_e(x)

です、よって

O = U_x∈O N_e(x)

すなわち距離空間から定義される位相の開集合はe-近傍の和集合で書けます。
だから近傍について考えればよいです。

角度による距離空間のxのe-近傍をN1_e(x) と書くことにしましょう。
すると図形的考察より、

N1_e(x) = N2_a(x)∩ S

a = 2sin(e/2)

であることが分かります。ここでN2_a(x)は２次元ユークリッド空間の距離から定まるxの
a-近傍です。

これを使えば、証明されたいことは容易に分かりますから、ご自身で仕上げてください。

こんにちは。