|2^N|=ℵ1の証明

自然数の冪集合の濃度（|2^N| (または|2^ℵ0|) ）は、連続体濃度ℵ1に等しいの証明お願いします。

No.5 ベストアンサー 回答者： rinkun 回答日時： 2019/10/25 20:11

> ここまでの段階で分かったことは、連続体仮説についてはさまざまな解釈が可能であるが、決定的な解釈は存在しないということ。

解釈というのとは違うと思いますが、無限集合の大きさに関しては集合論(ZFとかZFCの公理系)の範囲では明確にできないことが多く、追加の仮定(公理)の与え方に大きな自由度があるということです。
なお無限集合に関しては直感に反する結果が多くあるので、そういう話題を素朴集合論で議論することは無意味です。公理論的集合論(ZFとかZFCとか、あるいはそれらの公理の一部を修正したもの)をちゃんと理解し、そのどれを採用するかを明確にして議論しなければ議論になりませんので。
だから素朴集合論でしか話ができないなら連続体仮説とかの基礎論的な問題にはタッチしないことをお勧めします。

No.4 回答者： rinkun 回答日時： 2019/10/24 22:07

> 例えば、ℵ=ℵ5と設定するができるのですか？

できるらしいですよ。（イーストンの定理）
自分も専門でないので詳しくは知りませんが。

この回答へのお礼

ここまでの段階で分かったことは、連続体仮説についてはさまざまな解釈が可能であるが、決定的な解釈は存在しないということ。
そこで考えたのは、素朴集合論の範囲でも無限集合はこれまた無限に大きく拡大し得るが、「その拡大の無限遠方に連続体が位置する」と解釈することにしました。
このよーな考え方でよいのではありませんか？

お礼日時：2019/10/25 10:55

No.3 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2019/10/24 12:29

証明不能。

理由は連続体仮説だから。
現時点では仮説だよ！

No.2 回答者： rinkun 回答日時： 2019/10/24 11:12

> 最初の非可算濃度ℵ1を式で表すとどーなるのでしょーか？

> ２番目の非可算濃度ℵ2を式で表すとどーなるのでしょーか？
一般連続体仮説を仮定するなら
ℵ1＝２＾ℵ0
ℵ2＝２＾ℵ1
と言えますが、仮定しない場合は式表現は無理でしょう。
何番目の非可算濃度が連続体濃度になるのかをかなり自由に設定できることが分かっていますし、その設定の時にℵ1をどのように表現できるかも知りません。
そもそも最初の非可算濃度以外の表現方法があるかどうかも疑問です。

この回答へのお礼

＞何番目の非可算濃度が連続体濃度になるのかをかなり自由に設定できることが分かっています

本当ですか？
例えば、ℵ=ℵ5と設定するができるのですか？

お礼日時：2019/10/24 19:09

No.1 回答者： rinkun 回答日時： 2019/10/24 10:41

まず用語が間違っています。

連続体濃度の記号はℵでありℵ1ではありません。
ℵ1は最初の非可算濃度であり、|2^N|=ℵ≧ℵ1は定義により自明ですが、逆の不等号ℵ≦ℵ1は連続体仮説であり、証明不能です。

証明を望むのは
|2^N|=ℵ
で良いでしょうか。
それなら下記URLのPDF内の定理8.11が所望のものです。
http://www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/s …

この回答へのお礼

ありがとうございます。

＞|2^N|=ℵ≧ℵ1は定義により自明ですが、・・・

これは理解できました。

では、
最初の非可算濃度ℵ1を式で表すとどーなるのでしょーか？
２番目の非可算濃度ℵ2を式で表すとどーなるのでしょーか？

お礼日時：2019/10/24 10:58