「Xを異なる3点a,b,cの集合とする。このとき、X上の位相は幾通りあるか。すべてを列挙せよ。」
という問題ですが、ネットにて下記、2通りの回答が載っていました。
どちらが正しいのでしょうか?
位相は教科書だけでなく、参考書も読んだのですが、ほとんど理解できません。
解2が正解なら、何故、(4) {φ,{a}, {a,b}, X}、・・・ (6通り)となるのでしょう?
だけでなく、(1)から全て理解していませんが。
お手数ですが、ご回答お願いします。
解1
0,(a),(b),(c),(ab),(bc),(ca),(abc)の8通りです。
0は空集合
解2
(1) {φ, X} (1通り)
(2) {φ,{a}, X}、・・・ (3通り)
(3) {φ,{a,b}, X}、・・・ (3通り)
(4) {φ,{a}, {a,b}, X}、・・・ (6通り)
(5) {φ,{a}, {b,c}, X}、・・・ (3通り)
(6) {φ,{a}, {a,b}, {c,a}, X}、・・・ (3通り)
(7) {φ,{a}, {b}, {a,b}, X}、・・・ (3通り)
(8) {φ,{a}, {b}, {a,b}, {b,c}, X}、・・・ (6通り)
(9) {φ,{a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, X} (1通り)
以上29通り。
No.4ベストアンサー
- 回答日時:
解2が正解です
X={a,b,c}のとき
(1) 1){φ,X}
(2) 2){φ,{a},X}
3){φ,{b},X}
4){φ,{c},X}
(3) 5){φ,{a,b},X}
6){φ,{b,c},X}
7){φ,{c,a},X}
(4) 8){φ,{a},{a,b},X}
9){φ,{a},{a,c},X}
10){φ,{b},{b,c},X}
11){φ,{b},{b,a},X}
12){φ,{c},{c,a},X}
13){φ,{c},{c,b},X}
(5)14){φ,{a},{b,c},X},(∵{a}∪{b,c}={a,b,c}=X)
15){φ,{b},{c,a},X}
16){φ,{c},{a,b},X}
(6)17){φ,{a},{a,b},{c,a},X},(∵{a,b}∪{c,a}={a,b,c}=X)
18){φ,{b},{b,a},{c,b},X}
19){φ,{c},{c,a},{b,c},X}
(7)20){φ,{a},{b},{a,b},X}
21){φ,{b},{c},{b,c},X}
22){φ,{c},{a},{c,a},X}
(8)23){φ,{a},{b},{a,b},{b,c},X},(∵{a,b}∪{b,c}={a,b,c}=X)
24){φ,{a},{b},{a,b},{c,a},X}
25){φ,{b},{c},{b,c},{c,a},X}
26){φ,{b},{c},{b,c},{a,b},X}
27){φ,{c},{a},{c,a},{a,b},X}
28){φ,{c},{a},{c,a},{b,c},X}
29){φ,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},X},(∵{a,b}∪{b,c}={a,b,c}=X)
以上29通り
Z={φ,{a},{b},{a,b,c}=X}は位相ではない
(∵{a}∪{b}={a,b}∈Zでないから。)
No.3
- 回答日時:
#1です。
数え上げルールが不明なので分かりにくいのですが、
(1)は最小の位相。
(2)は大きさ1の部分集合が1個の位相
(3)は大きさ2の部分集合が1個の位相
(4)(5)は大きさ1と2の部分集合が1個ずつの位相
(6)は大きさ1の部分集合1個と大きさ2の部分集合が2個の位相
(7)は大きさ1の部分集合が2個と大きさ2の部分集合が1個の位相
(8)は大きさ1、2の部分集合とも2個ずつの位相
(9)は最大(3個と3個)の位相。
部分集合の大きさで仕分けすると、
N=1、N=2 個数
0 0 1
1 0 3
0 1 3
1 1 9
1 2 3
2 1 3
2 2 6
3 3 1
計 29
>(5) {φ,{a}, {b,c}, X}、・・・ (3通り)
>{φ,{a}, {b,c}, X}
>{φ,{b}, {b,c}, X}
>{φ,{c}, {b,c}, X}
>となるのでしょうか?
(5)は、{a}と{bc}のintersectionがφのもの。
{φ,{a}, {b,c}, X}
{φ,{b}, {a,c}, X}
{φ,{c}, {a,b}, X}
で数えているものと思われます。
(4)(5)は一緒に考えた方がわかりやすいと思います。
No.1
- 回答日時:
「位相」の定義を確認しましょう。
>どちらが正しいのでしょうか?
解1 は明らかにおかしいです。
>何故、(4) {φ,{a}, {a,b}, X}、・・・ (6通り)となるのでしょう?
部分集合{a}と{a,b}のintersectionが前者、
unionが後者となるもので数え上げているようです。
{φ,{a}, {a,b}, X}
{φ,{a}, {a,c}, X}
{φ,{b}, {a,b}, X}
{φ,{b}, {b,c}, X}
{φ,{c}, {a,c}, X}
{φ,{c}, {b,c}, X}
の6通り。
ご回答有難うございます。
>>何故、(4) {φ,{a}, {a,b}, X}、・・・ (6通り)となるのでしょう?
>部分集合{a}と{a,b}のintersectionが前者、
unionが後者となるもので数え上げているようです。
なるほど。(1)~(4)までわかりました。
しかし、(5)では、
(5) {φ,{a}, {b,c}, X}、・・・ (3通り)
{φ,{a}, {b,c}, X}
{φ,{b}, {b,c}, X}
{φ,{c}, {b,c}, X}
となるのでしょうか?
(6) {φ,{a}, {a,b}, {c,a}, X}、・・・ (3通り)
(7) {φ,{a}, {b}, {a,b}, X}、・・・ (3通り)
(6)(7)も同様に
{a}が{b},{c}, の場合の3通りなのでしょうか?
(8) {φ,{a}, {b}, {a,b}, {b,c}, X}、・・・ (6通り)
(9) {φ,{a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, X} (1通り)
(8)の6通りはどのようになるのでしょう?
以上29通りというのはあっているのでしょうか?
お手数ですが、よろしくお願いします。
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