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知ってる式から応用させて
微分式を作りたいですが
例えば
タンクのなかにVm3という液体がありますし、この液体の濃度はAとなるとき
このタンクに
他の溶液である濃度A0の溶液を流量F(m3/hr)で供給すれば供給量と同じ量がタンクから排出すれば
この時間についた濃度変化の微分式は
dA/dt=F/V*(A0-A)になると存じますが、この式を応用して
濃度Aについて厚さTの変化の微分式を立てたいですが
dT(厚さ)/dA(濃度)=
何ですか?

しっかり正しくなくてもいいですし、私が書いた通りに等しくなくてもいいなので教えていただけますか?
ぜひ宜しくお願いいたします。

質問者からの補足コメント

  • へこむわー

    すみません、
    それでは
    私が立てたい式をお送りします
    まず
    液のなかで固形分が11.4%=液は(1-0.114=0.886で液の濃度が全体で88.6%の時に液だけの濃度が100%だと仮定すれば)
    この液を110%、120%、どんどん液を入れて液の濃度が増えたら固形分の濃度が逆に落ちることに関する微分式を作りたいです。


    教えていただけますか?

      補足日時:2023/03/09 23:10
  • へこむわー

    詳しいご説明いただきありがとございますが、
    ご回答おもらったのは濃度についたないようですがこれを適用させて
    濃度に関する問題ではなくて
    希釈濃度(溶媒液の補充について減少される固形分)の微分式に応用することはできますか?
    例えば
    700gの混合液に(固形分10%=溶液=630g
    固形は10%=100%
    溶液は630=100%だと仮定して
    この状態で
    溶液だけ(固形分なし)63gをもっといれば
    溶液は693gになり110%
    また69.3gの溶液をもっと添加させば
    762.3g=最初のより121%です
    こいうふうに
    固形がなし溶液を添加させて固形分が下がることについても微分式を立てたいですが
    できれば教えていただけますか?
    ぜひ宜しくお願いいたします。

      補足日時:2023/03/10 01:13

A 回答 (6件)

No.5 です。

書き忘れ。

#5 に書いた内容は、#4 で式を求める際に使った条件を

・流入量は F で、その濃度がゼロ(水だけ、A0 = 0)
・流出量はゼロ(#4 では「流出量 = 流入量 = F」とした)

に変える必要があります。

タンクの中では、濃度が瞬時に一定になるとすれば、時間 Δt [hr] の間に供給される溶質の質量は
 0 [kg]
その瞬間の濃度を A(t) として、流出する溶質の質量は
 0 [kg]
従って、時間 Δt [hr] 経過後のタンクの中の溶質の量は
 A(t + Δt)・V × 10^3 = A(t)・V × 10^3
→ A(t) = const = A0

一方、流出が 0 なのでタンク内の混合液の質量は単調増加し、
 V(t) = V0 + F・t

以上より、濃度 N(t) は
 N(t) = A0/(V0 + F・t)
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No.3 です。

「補足」を見ました。

>希釈濃度(溶媒液の補充について減少される固形分)の微分式に応用することはできますか?

いや、そもそもそのことを回答してますよ。

書かれている内容が「濃度」を全く理解できていないおかしな内容ですが、

>700gの混合液に(固形分10%=溶液=630g
固形は10%=100%

固形分:70 g
溶液(正確には溶媒):630 g

これを「%」などで言おうとするからおかしくなるので、質量なら徹底して質量で表記すればよいのです。

>この状態で
溶液だけ(固形分なし)63gをもっといれば
溶液は693gになり110%

「もっと入れれば」ですか?
だったら溶液 + 固形分は「763 g」になりますよ?
溶液:630 + 63 = 693 g (元の量の 1.1倍、110%)
固形分:70 g
その場合の濃度は
 70[g] / 763[g] = 0.091743・・・ ≒ 9.2%

>また69.3gの溶液をもっと添加させば
762.3g=最初のより121%です

溶液 + 固形分は「763 + 69.3 = 832.3 g」になります。
溶液:693 + 69.3 = 726.3 g (元の量の 1.1倍、110%)
固形分:70 g
その場合の濃度は
 70[g] / 832.3[g] = 0.084104・・・ ≒ 8.4%

>こいうふうに
固形がなし溶液を添加させて固形分が下がることについても微分式を立てたいですが
できれば教えていただけますか?

これは微分など必要ありません。
加える「溶液(固形分なし)」を W [g] として、濃度 A は
 A = 70 / (630 + W)
と表されるだけの話です。
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「厚さT」は、どこへ行ったのかなあ...

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No.2 です。


仮に、密度がすべて「1 g/cm^3」と仮定すれば
・体積 V [m^3] の質量:V × 10^3 [kg]
・濃度 A (0≦A≦1)とすれば、「溶質」の質量は
 A・V × 10^3 [kg]
・溶媒(水?)の質量は
 (1 - A)V × 10^3 [kg]

供給する液体の質量流量は
 F × 10^3 [kg/hr]
・濃度 A0 (0≦A0≦1)とすれば、その中の「溶質」の質量は
 A0・F × 10^3 [kg/hr]
・溶媒(水?)の質量は
 (1 - A0)F × 10^3 [kg/hr]

タンクの中では、濃度が瞬時に一定になるとすれば、時間 Δt [hr] の間に供給される溶質の質量は
 A0・F × 10^3 × Δt [kg]
その瞬間の濃度を A(t) として、流出する溶質の質量は
 A(t)・F × 10^3 × Δt [kg]
従って、時間 Δt [hr] 経過後のタンクの中の溶質の量は
 A(t + Δt)・V × 10^3 = A(t)・V × 10^3 + A0・F × 10^3 × Δt - A・F × 10^3 × Δt
→ [A(t + Δt) - A(t)]・V = [A0 - A(t)]・F・Δt
→ [A(t + Δt) - A(t)]/Δt = [A0 - A(t)]・F/V

Δt→0 の極限をとれば
 dA(t)/dt = (F/V)[A0 - A(t)]   ①

これ自身が「濃度変化の微分方程式」になります。

この微分方程式を解けば
 A(t) - A0 = g(t)
とおけば、これを t で微分すれば
 dA(t)/dt = dg(t)/dt
なので、これを①に代入して(面倒なので (t) は省略)
 dg/dt = -(F/V)g
これは変数分離できるので
 ∫(1/g)dg = -(F/V)∫dt
→ log|g| = -(F/V)t + C1   (C1:積分定数)
→ g = ±e^[-(F/V)t + C1]
   = ±e^C1 ・e^[-(F/V)t]
   = C・e^[-(F/V)t]    (C = ±e^C1)

これを元に戻せば
 A(t) - A0 = C・e^[-(F/V)t]
→ A(t) = A0 + C・e^[-(F/V)t]    ②
初期条件として、t=0 のとき A(0) = A' とすれば
 A(0) = A0 + C = A'
より
 C = A' - A0
よって②は
 A(t) = A0 + (A' - A0)e^[-(F/V)t]
   = A0(1 - e^[-(F/V)t]) + A'・e^[-(F/V)t]
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質問者さんは、こんな質問もされていますね。



https://oshiete.goo.ne.jp/qa/13382897.html

失礼ですが、「濃度」というものを全く理解できていないようにお見受けします。

通常「濃度」というのは「質量比」なので、流体の「密度」が分からなければ「体積」からは計算できません。
また、濃度とは「全体の中に占める『溶質』の質量比」なので「100%」を越えることはあり得ません。
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「厚さT」が何者なのか、質問文に一切説明がないのだが。


それで式が立つと思うの?
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