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不連続点が高々可算個しかない有界な関数は有界区間[a,b]上でリーマン積分可能ですが、不連続点が連続濃度(ただしもちろんルベーグ測度0)を持つ集合で不連続な場合[a,b]上でリーマン積分不可能な例というのはありますか?もしご存知あればできるだけ簡単な例を知りたいのですが。

それとも零集合上だけで不連続となる有界な[a,b]上の関数はいつでもリーマン積分できるのでしょうか?

A 回答 (3件)

積分論は専門ではありませんが、不連続点が零集合で有界であれば、リーマン積分可能と思います。


証明はそれほど難しくありません。
リーマン積分は[a,b]を多くの区間に細分し、その区間でのfの最大値、最小値と区間の幅をかけて足したものの極限値(区間を無限に細かくしたときの)です。
不連続点を含まない区間については問題ありません。
不連続点を含む区間の長さの合計は、零集合の定義から、区間を無限に細かくしていくと0に収束するはずで、無視することができます。
よって、リーマン積分は収束します。
きちんとした証明はご自分でお考えください。
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この回答へのお礼

ルベーグ零集合というのはある種完備化されているので、どうかと思っていたのですが、ルベーグ測度の完全性からやはり零集合を含む区間の長さの合計がいくらでも小さくなるようにできるのですね。ということはやはりコンパクト集合上の有界な関数がリーマン可積分であるための必要十分条件は不連続点がルベーグ測度0になること、が言えたことになりそうです。どうもありがとうございました。

お礼日時:2004/10/30 17:21

なるほど、では、


[0,1]区間で
f(x)=1 (xはカントール集合の元)
  =0 (otherwise)
ではどうでしょう。
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この回答へのお礼

どうやらリーマン可積分でしたがってルベーグ積分と値が一致して0になりそうです。

お礼日時:2004/10/30 17:16

>不連続点が高々可算個しかない有界な関数は


>有界区間[a,b]上でリーマン積分可能ですが、

反例:
[0,1]区間で
f(x)=1 (xは有理数)
  =0 (xは無理数)
はリーマン積分不可能です。

>不連続点が連続濃度(ただしもちろんルベーグ測度0)を
>持つ集合で不連続な場合[a,b]上でリーマン積分不可能な例

悪魔の階段かな?よく分からんけど。
http://www.shirakami.or.jp/~eichan/java/java99/a …
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この回答へのお礼

コメントありがとうございます。

[0,1]区間で
f(x)=1 (xは有理数)
  =0 (xは無理数)
はリーマン積分不可能です。

は確かにリーマン積分できないのですが、無理点でも不連続になっているのでこの関数は至る所不連続です。あと悪魔の階段(カントール関数)は単調な連続関数でリーマン積分できます。

よくよく考えてみるとこれは難しい問題のような気がしてきました。

お礼日時:2004/10/29 18:22

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解析学の問題で、「[0,1]で定義された単調増加関数の不連続点はたかだか可算である」と言うことを証明したいのですが、さっぱりわかりません(>_<)

どなたかご指導いただければと思います。お願いいたしますm(_ _)m

Aベストアンサー

区間[0,1]におけるfの不連続点でのとびの合計はf(1)-f(0)をこえません。
ここで、1/nより大きい不連続点全体の集合J_nを考えさらに、Jを不連続点全体の集合とします。
そうすれば明らかに
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Aベストアンサー

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その理由が本を読んでも良く分かりません。

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xが無理数ならば、任意の自然数mに対して|cos2πm!x|<1となるから。

と書かれていたのですが、よく分かりませんでした。

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この関数に苦戦しています。

解説お願いいたします。

Aベストアンサー

難しく考えすぎ。


落ち着いてよくみれば高校生でもわかる単純なはなし。
εーδとかルベーグとか難しいことは一旦忘れてみよう。



xが有理数
→x=a/b((a,bは整数)mがbより大きくなると m!xは"いつも整数"になる。
→cos(・・・)が1になる。


xが無理数
→どのようなm対しても、m!xが整数にならない(なったらビックリ)
→cos(・・・)が1にも-1にもならない(絶対値が1未満になる)
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Q2変数関数の極限値の解き方(色々なケース)

以下の8問の2変数関数の極限値を求めてる問題を解いてみたのですが
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わかる方、ご指導よろしくお願いいたします。

【問題】
次の極限値は存在するか。存在する時には、その極値を求めよ。

(1) lim [(x,y)→(0,0)] (xy)/√(x^2+y^2)

まず、x→yの順に近づける。
lim[y→0]lim[x→0] (xy)/√(x^2+y^2) = 0
次に、y→xの順に近づける。
lim[x→0]lim[y→0] (xy)/√(x^2+y^2) = 0
上記より、異なる近づけ方でも極限値が1つに定まる。
よって、lim [(x,y)→(0,0)] (xy)/√(x^2+y^2)は極限値は0をとる。


(2) lim [(x,y)→(0,0)] (x^2+2y^2)/√(x^2+y^2)

まず、x→yの順に近づける。
lim[y→0]lim[x→0] (x^2+2y^2)/√(x^2+y^2) = 0
次に、y→xの順に近づける。
lim[x→0]lim[y→0] (x^2+2y^2)/√(x^2+y^2) = 0
上記より、異なる近づけ方でも極限値が1つに定まる。
よって、lim [(x,y)→(0,0)] (x^2+2y^2)/√(x^2+y^2)は極限値は0をとる。


(3) lim [(x,y)→(0,0)] (xy)/(x^2+2y^2)

まず、x→yの順に近づける。
lim[y→0]lim[x→0] (xy)/(x^2+2y^2) = 0
次に、y→xの順に近づける。
lim[x→0]lim[y→0] (xy)/(x^2+2y^2) = 0
上記より、異なる近づけ方でも極限値が1つに定まる。
よって、lim [(x,y)→(0,0)] (xy)/(x^2+2y^2)は極限値は0をとる。


(4) lim [(x,y)→(0,0)] (x-y^2)/(x^2-y)

まず、x→yの順に近づける。
lim[y→0]lim[x→0] (x-y^2)/(x^2-y) = 0
次に、y→xの順に近づける。
lim[x→0]lim[y→0] (x-y^2)/(x^2-y) = 0
上記より、異なる近づけ方でも極限値が1つに定まる。
よって、lim [(x,y)→(0,0)] (x-y^2)/(x^2-y)は極限値は0をとる。


(5) lim [(x,y)→(0,0)] (y^2)/(x^2+y^2)

まず、x→yの順に近づける。
lim[y→0]lim[x→0] (y^2)/(x^2+y^2) = 1
次に、y→xの順に近づける。
lim[x→0]lim[y→0] (y^2)/(x^2+y^2) = 0
上記より、異なる近づけ方をすると極限値が1つに定まらない。
よって、lim [(x,y)→(0,0)] (y^2)/(x^2+y^2)は極限値を持たない。


(6) lim [(x,y)→(0,0)] (x^2-y^2)/(x^2+y^2)

まず、x→yの順に近づける。
lim[y→0]lim[x→0] (x^2-y^2)/(x^2+y^2) = -1
次に、y→xの順に近づける。
lim[x→0]lim[y→0] (x^2-y^2)/(x^2+y^2) = 1
上記より、異なる近づけ方をすると極限値が1つに定まらない。
よって、lim [(x,y)→(0,0)] (x^2-y^2)/(x^2+y^2)は極限値を持たない。


(7) lim [(x,y)→(0,0)] (xy)/(x^2+y^2)

まず、x→yの順に近づける。
lim[y→0]lim[x→0] (xy)/(x^2+y^2) = 0
次に、y→xの順に近づける。
lim[x→0]lim[y→0] (xy)/(x^2+y^2) = 0
上記より、異なる近づけ方でも極限値が1つに定まる。
よって、lim [(x,y)→(0,0)] (xy)/(x^2+y^2)は極限値は0をとる。


(8) lim [(x,y)→(0,0)] (x^2y)/(x^2+y^2)

まず、x→yの順に近づける。
lim[y→0]lim[x→0] (x^2y)/(x^2+y^2) = 0
次に、y→xの順に近づける。
lim[x→0]lim[y→0] (x^2y)/(x^2+y^2) = 0
上記より、異なる近づけ方でも極限値が1つに定まる。
よって、lim [(x,y)→(0,0)] (x^2y)/(x^2+y^2)は極限値は0をとる。


もし、導き方がおかしいようなら、ご指摘いただければと思います。
以上、ご指導のほどよろしくお願いします。

以下の8問の2変数関数の極限値を求めてる問題を解いてみたのですが
計算結果が正しいか自信がありません。
わかる方、ご指導よろしくお願いいたします。

【問題】
次の極限値は存在するか。存在する時には、その極値を求めよ。

(1) lim [(x,y)→(0,0)] (xy)/√(x^2+y^2)

まず、x→yの順に近づける。
lim[y→0]lim[x→0] (xy)/√(x^2+y^2) = 0
次に、y→xの順に近づける。
lim[x→0]lim[y→0] (xy)/√(x^2+y^2) = 0
上記より、異なる近づけ方でも極限値が1つに定まる。
よって、lim [(x,y)→(0,0)] (xy)/√(x^...続きを読む

Aベストアンサー

訂正
(1)は式に絶対値をつけとかんといかんかった。
|(xy)/√(x^2+y^2)|=|x|/√(x^2+y^2)・|y|/√(x^2+y^2)・√(x^2+y^2)
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Aベストアンサー

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一様収束です.

「Iで一様収束」
広義一様収束「Iの任意の部分閉区間で一様収束」というのは
違う概念であって,任意の部分閉区間で一様収束しても
I全体で一様収束とは限りません.

シンプルな例としては・・・
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広義一様収束です.
#e^xのテイラー展開の剰余項に「x^n」があるから,そして
#広義一様であるのは,有界閉区間に限ればこの「x^n」が有界になるから
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