高校の数学で 全体集合Uとその部分集合A、Bについて、集合Aの要素の個数をn(A)で表すことにすると

高校の数学で

全体集合Uとその部分集合A、Bについて、集合Aの要素の個数をn(A)で表すことにすると、全体集合Uの要素の個数はn(U)=50、部分集合Āの要素の個数はn(Ā)=34、部分集合Bの要素の個数はn(B)=25、部分集合(Ā ∩ B)=17である。

1、部分集合A∩Bの要素の個数n(A ∩ B)を求めよ。
2、部分集合 n( Ā ∩ B¯ )を求めよ

これの答えと途中式を教えてください

No.2 ベストアンサー 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2020/12/30 19:57

1. 集合Bの要素は、集合Aの要素であるものか集合Aの要素でないものかのどちらかに分類されます。

集合 Ā ∩ B の要素は集合Bの要素でかつ集合Aの要素でないものです。集合 A∩B の要素は集合Bの要素でかつ集合Aの要素であるものです。n(B)=25、n(Ā ∩ B)=17なので、n(A ∩ B)=25－17=8（個）

2. n(Aバー)=34 より、n(A)=n(U)－n(Aバー)=50－34=16
ドモルガンの法則より、(Aバー)∩(Bバー)=(A∪B)バー

n(A∪B)=n(A)+n(B)－n(A∩B)
=16+25－8
=33

これより、
n((A∪B)バー)=n(U)－n(A∪B)
=50－33
=17

したがって、
n( (Aバー)∩(Bバー) )
=n((A∪B)バー)
=17（個）

この回答へのお礼

ありがとうございますわかりやすいです！

お礼日時：2020/12/30 21:27

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2020/12/30 17:10

1.

U∩B=B
{A∪(U-A)}∩B=B
(A∩B)∪{(U-A)∩B}=B
だから
n[(A∩B)∪{(U-A)∩B}]=n(B)
n(A∩B)+n{(U-A)∩B}-n{A∩B∩(U-A)∩B}=n(B)
n(A∩B)+n{(U-A)∩B}-n(φ)=n(B)
n(A∩B)+n{(U-A)∩B}=n(B)
↓両辺からn{(U-A)∩B}を引くと
n(A∩B)=n(B)-n{(U-A)∩B}
↓n(B)=25,n{(U-A)∩B}=17だから
n(A∩B)=25-17
∴
n(A∩B)=8

2.
(U-A)∩U=U-A
(U-A)∩{(U-B)∪B}=U-A
{(U-A)∩(U-B)}∪{(U-A)∩B}=U-A
だから
n[{(U-A)∩(U-B)}∪{(U-A)∩B}]=n(U-A)
n{(U-A)∩(U-B)}+n{(U-A)∩B}-n{(U-A)∩(U-B)∩(U-A)∩B}=n(U-A)
n{(U-A)∩(U-B)}+n{(U-A)∩B}-n(φ)=n(U-A)
n{(U-A)∩(U-B)}+n{(U-A)∩B}=n(U-A)
↓両辺からn{(U-A)∩B}を引くと
n{(U-A)∩(U-B)}=n(U-A)-n{(U-A)∩B}
↓n(U-A)=34,n{(U-A)∩B}=17だから
n{(U-A)∩(U-B)}=34-17
∴
n{(U-A)∩(U-B)}=17