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教えていただきたいです!

原点において微分可能かどうか?
f(x)=x²sin(1/x) (x≠0)
0 (x=0)

f’(0)
=lim(h→-0) f(x+h)-f(x)
=lim(h→+0) f(x+h)-f(x)
=0

h→-0の極限とh→+0の極限が0

ここから何をしたら良いのかわかりません。よろしくお願いします!

質問者からの補足コメント

  • 本当にすみません。答えを書いておくべきでした。「微分可能」です。

      補足日時:2018/10/02 17:33
gooドクター

A 回答 (5件)

ANo.1・・!



ゴメン  <(_ _)> 以下に訂正・・!

f(x)は各点において微分可能だが、
lim(x→0)f'(x)はcos(1/x)が極限を持たないからlim(x→±0)f'(x)は存在しない・・!
従って原点において連続ではない・・!
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この回答へのお礼

再度教えていただきありがとうございます!

微分可能なのに連続ではないのはどういった状況でしょうか?今まで微分可能なら絶対に連続と聞いてきたので、イメージできません…それと、連続かどうかはf(x)で判断していたので、f'(x)が極限を持たないから連続ではないというのがあまり理解できませんでした…

色々頭に詰め込みすぎて混乱してます、、もし良ければ教えていただきたいです!よろしくお願いします

お礼日時:2018/10/02 20:34

ANo.1,2,3・・!



よく解答を見ていただきたいのだが・・!

#1,3で解答したのはlim(df/dx)の極限値であってlimf(x)を求めている訳ではない・・!

質問者の言われる通り関数f(x)が微分可能ならば、その点で連続である・・!
それは既に質問の関数の定義から明らかである・・!

質問者の示した関数の場合、導関数が連続かどうか、ちと気になったので#3で具体的に数値を当てはめて計算してみたのである・・!
も一度書く・・!
導関数が連続かどうかを調べてみた・・!

結果、必ずしも連続とはならない事が分った。

ANo.1で"連続ではない"とすべきところを(f'に気を取られ)誤って"微分可能ではない"と書いてしまったために誤解を生じさせたことは申し訳ない・・!
<(_ _)>
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この回答へのお礼

お礼が遅くなってしまい、すみません!私の勘違いでかなり回答数を多くさせてしまいましたね、、付き合っていただきありがとうございました!またの機会によろしくお願いします(*´-`)

お礼日時:2018/10/06 21:21

どう解釈するかにもよると思いますが、この関数は原点において微分可能か? と訊かれれば可能であり、原点において連続かと言えば連続でしょうね。



1/x→∞ で sin(1/x) は激しく振動しますが、振幅は -1〜1 で有限です。そこに x² を掛けているのですから 0 に落ち着くことは明らかです。
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この回答へのお礼

後半の説明が腑に落ちました!物凄くわかりやすいです〜

ベストアンサーは他の方を選ぶかもしれませんが、大変助かりました!ありがとうございました!

お礼日時:2018/10/06 21:19

ANo.1,2・・!



例えば1/xn=nπとしてみると
xn→0⇒n→∞
f'(xn)=cos(1/xn)=cos(nπ)=(-1)ⁿでnが増大すると原点の近傍で振動して
lim(xn→0)f'(xn)が有限確定値を取る事が出来ないから連続ではない・・!
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f'(x)=2xsin(1/x)-cos(1/x) (x≠0)



lim(x→0)(f(x)-f(0))/(x-0)
=lim(x→0){xsin(1/x)}
=0             (x=0)

だが
lim(x→0)f'(x)はcos(1/x)が極限を持たないからlim(x→0)f'(x)は存在しない・・!
∴原点において微分可能ではない・・!
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