線型独立か線型従属か

V を ℝ から ℝ への関数全体の集合とすると, V は自然に ℝ-線型空間と見なせます.
f(x), g(x) ∈ V が,
f(x) = 0 if x ∈ ℚ, f(x) = -1 if x ∈ ℝ - ℚ
g(x) = 0 if x ∈ ℚ, g(x) = 1 if x ∈ ℝ - ℚ
と定義されているとき, f(x)g(x) と g(x) は線型独立でしょうか.

自分で, 次のように考えました.
af(x)g(x) + bg(x) = 0, ただし a, b ∈ ℝ, とおくと,
{af(x) + b}g(x) = 0 で, g(x) は恒等的に 0 でないから両辺を g(x) で割ると,
af(x) + b = 0
左辺が V の零ベクトル 0 と等しくなるためには, b = 0 であることが必要であり,
それゆえ a = 0 である.
よって, f(x)g(x) と g(x) は線型独立である.
これで正しいでしょうか.
自分では, あまり自信が無いのですが.
また, 結論だけでなく, 答案の書き方として正しいでしょうか.
アドバイス, よろしくお願いします.

No.3 ベストアンサー 回答者： yukkurine 回答日時： 2022/05/04 20:38

f(x)g(x)≡0 (恒等的に0)

ならば
f(x)≡0またはg(x)≡0
というのが正しくないと思います。
例えば
f(x)=0 (x≦0)、f(x)=x (x>0)
g(x)=x (x≦0)、g(x)=0 (x>0)
とすると
f(x)\≡0かつg(x)\≡0 (恒等的には0でない)ですがf(x)g(x)≡0 (恒等的に0)です。

この回答へのお礼

なるほど.
任意の実数 x に対して,
{af(x) + b}g(x) = 0 であることと, af(x) + b = 0 であることは, まったくの別物ですね.
g(x) が恒等的に 0 でないという理由だけで, よく考えもせずに, 両辺を g(x) で割ったことは, 完全な間違いでした.
ありがとうございました.

お礼日時：2022/05/04 21:19

No.2 回答者： yukkurine 回答日時： 2022/05/04 19:44

すみません、書き間違えました。

f(x)g(x)+g(x)はx∈Qなら0×0+0=0、x∈R-Qなら-1×1+1=0となるので一次独立ではないのでは？

この回答へのお礼

再度の回答, ありがとうございます.
確かに f(x)g(x) + g(x) は V の零ベクトル 0 に等しいので, f(x)g(x) と g(x) は線型従属のような気がしてきました.
ただ, そうだとしたら, 私の答案はどの部分が間違っているのでしょうか.
これといった間違いは無いようにも思えるのですが, 私の勘違いなんでしょうか.

お礼日時：2022/05/04 20:07

No.1 回答者： yukkurine 回答日時： 2022/05/04 19:07

f(x)+g(x)はx∈Qなら0+0=0、x∈R-Qなら-1+1=0となるので一次独立ではないのでは？

この回答へのお礼

回答ありがとうございます.
ただ...
私の質問は, f(x)g(x) と g(x) が線型独立かどうかに関するものです.
f(x) と g(x) が線型独立かどうかについて, 触れてはいません.
ご指摘のとおり, f(x) + g(x) は V の零ベクトル 0 に等しいと思いますが, 私の質問と何か関係あるでしょうか.

お礼日時：2022/05/04 19:38