
No.1
- 回答日時:
両辺の∫の積分区間が共通なら、
|∫f(x)dx| ≦ ∫|f(x)|dx は成り立ちます。
(不定積分では、ダメですよ。)
このことは、自明として扱ってもよいように思います。
成立の根拠は、
積分区間 S の中で f(x)≧0 となる範囲を A,
f(x)<0 となる範囲を B とすると、
A∪B = (積分区間), A∩B = { } が成り立つので
| ∫[x∈S]f(x)dx | = | ∫[x∈A]f(x)dx + ∫[x∈B]f(x)dx |
≦ | ∫[x∈A]f(x)dx | + | ∫[x∈B]f(x)dx |
= | ∫[x∈A]f(x)dx | + | -∫[x∈B]f(x)dx |
= | ∫[x∈A]f(x)dx | + | ∫[x∈B]-f(x)dx |
= | ∫[x∈A]| f(x) |dx | + | ∫[x∈B]| f(x) |dx |
= ∫[x∈A]| f(x) |dx + ∫[x∈B]| f(x) |dx
= ∫[x∈S]| f(x) |dx.
となるからです。
簡単な導出ですが、毎回書くのは面倒なので
自明としておくのがよいでしょう。
「○○の定理」と名前をつけるもの大げさ
なような内容だしね。
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あと理屈がわからないので教えてください