高校数学 積分 |∫f(x)dx|≦∫|f(x)|dx は自明として扱ってよいのですか？

高校数学　積分

|∫f(x)dx|≦∫|f(x)|dx は自明として扱ってよいのですか？

質問者からの補足コメント

• f(x)を関数とする

    補足日時：2020/04/25 16:22

• あと理屈がわからないので教えてください

    補足日時：2020/04/25 16:23

No.4 ベストアンサー 回答者： Tacosan 回答日時： 2020/04/26 23:16

|f(x)| ≧ 0 だから ∫ |f(x)| dx はイメージとして

正の値をひたすら足し算するだけ
だよね. つまり
1+3 と |1+3| は同じか違うか
というのと同じ.

この回答へのお礼

なるほど。わかりました。

お礼日時：2020/04/27 00:10

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2020/04/26 01:23

あ, まちがえた.

-|f(x)| ≦ f(x) ≦ |f(x)| から定積分→絶対値.

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2020/04/25 22:56

同じ区間での定積分なら

f(x) ≦ |f(x)| だから |∫ f(x) dx| ≦ |∫ |f(x)| dx | = ∫ |f(x)| dx
でいいと思う.

この回答へのお礼

|∫|f(x)|dx|=∫|f(x)|dx なんでイコールが成り立つんですか？そこだけわからないです

お礼日時：2020/04/26 22:09

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/04/25 19:15

両辺の∫の積分区間が共通なら、

|∫f(x)dx| ≦ ∫|f(x)|dx は成り立ちます。
(不定積分では、ダメですよ。)
このことは、自明として扱ってもよいように思います。

成立の根拠は、
積分区間 S の中で f(x)≧0 となる範囲を A,
f(x)<0 となる範囲を B とすると、
A∪B = (積分区間), A∩B = { } が成り立つので
| ∫[x∈S]f(x)dx | = | ∫[x∈A]f(x)dx + ∫[x∈B]f(x)dx |
≦ | ∫[x∈A]f(x)dx | + | ∫[x∈B]f(x)dx |
= | ∫[x∈A]f(x)dx | + | -∫[x∈B]f(x)dx |
= | ∫[x∈A]f(x)dx | + | ∫[x∈B]-f(x)dx |
= | ∫[x∈A]| f(x) |dx | + | ∫[x∈B]| f(x) |dx |
= ∫[x∈A]| f(x) |dx + ∫[x∈B]| f(x) |dx
= ∫[x∈S]| f(x) |dx.
となるからです。

簡単な導出ですが、毎回書くのは面倒なので
自明としておくのがよいでしょう。
「○○の定理」と名前をつけるもの大げさ
なような内容だしね。