二次関数の決定

二次関数は何故通る三点が分かれば１つに式が決まるのでしょうか？

No.2 回答者： asano_nagi 回答日時： 2015/10/20 09:04

予備定理

高々２次式の f(x) に対して、方程式 f(x) = 0 が３個以上の解を持つならば、f(x)≡0である。

f(x) = 0 が３個の解、α, β, γ を持つならば、
f(x) = a(x - α)(x - β)(x - γ）と表せる
一方で、f(x)は、高々２次式なので、a = 0
すなわち、f(x)≡0

これを前提として、
３つの点で等しい値をとるふたつの２次方程式 y=f(x), y=g(x) を考える。
この時、f(x) - g(x) は、３つの点で等しくなる高々２次式である。
つまり、f(x) - g(x) ≡ 0
すなわち、f(x) = g(x) である。

No.1 回答者： スチールウール 回答日時： 2015/10/20 08:13

二次関数は

y=ax^2+bx+c
と書けます
このa,b,cが決まれば一つに式が決まることになります
通る三点が求まれば、a,b,cに関する三つの方程式ができるため、式が一つに定まります
正確には方程式三つが独立でないといけないのですが、x^2などが入ってるため、これら3つの式は必ず独立になります
だから、三点さえ決まれば式は一つになるのです