(-∞,∞)上の関数y=y(x)はx<0でy”-4y=e^xを、x>0でy“-4y=e^(-x)co

(-∞,∞)上の関数y=y(x)はx<0でy”-4y=e^xを、x>0でy“-4y=e^(-x)cosxを満たしており、y(x)とその導関数y’(x)は(-∞,∞)上で連続で有界あるとする。
y(x)を求めよ。
この問題が分からないので教えて欲しいです。

質問者からの補足コメント

• y”-4y=e^x (x<0)
  y“-4y=e^(-x)cosx（0<x)
  
  y₁=C₁e^2x+C₂e^-2x-(1/3)e^x (x<0)
  y₂=C₃e^2x+C₄e^-2x-(1/10)(2cosx+sinx)e^-x (0<x)
  
  ｙは有界だから
  y₁=C₁e^2x-(1/3)e^x (x<0)
  y₂=C₄e^-2x-(1/10)(2cosx+sinx)e^-x (0<x)
  
  ｙは x=0 で連続だから
  C₁－1/3=C₄－1/5
  
  ｙ´は x=0 で連続だから
  2C₁－1/3=-2C₄＋1/10
  
  y₁=(7/40)e^2x-(1/3)e^x (x<0)
  y₂=(1/24)e^-2x-(1/10)(2cosx+sinx)e^-x (0<x)
  
  これだと間違ってますか？

    補足日時：2022/07/29 18:49

• ちなみになんですが、この問題の解答としてはy(x)はy₁とy₂を満たすもの。と言った形で良いと思いますか？

    補足日時：2022/07/29 23:29

No.2 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/07/29 20:56

そうでした。

誤りました。

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/07/29 18:02

y''-4y=0 の一般解はよく知られており

　y=Ae^(2x)+Be(-2x)・・・・・・・・・①

特殊解を微分演算子法で求める。
　y=(1/(D²-4))e^x=(1/(1-4))e^x=-(e^x)/3・・・・②

e^(-x)cosx → e^(-x)e^(ix)=e^((-1+i)x)・・・・③
として
　y=(1/(D²-4))e^((-1+i)x)=(1/((-1+i)²-4))e^((-1+i)x)
　　=(1/(-2i-4))e^((-1+i)x)=(-1/2)((2-i)/5)e^((-1+i)x)
　　=((-2+i)/10)e^(-x) e^(ix)
③から、この解の実部をとれば cosxに対応する解になるから
　Re(y)=(-1/5)e^(-x)cosx-(1/10)e^(-x)sinx・・・・④
となる。

すると①②から
　x<0 → y=Ae^(2x)+Be(-2x)-(e^x)/3
①④から
　x>0 → y=Ae^(2x)+Be(-2x)-(1/5)e^(-x)cosx-(1/10)e^(-x)sinx
x=0で、yが連続となるには
　A+B-1/3=A+B-(1/5) → -1/3=-1/5


つまり、掲題の解は無い。