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フーリエ級数展開の初項?の1/2a0ってどうやって導かれたのでしょうか?
どうかわかりやすく教えて頂けるとありがたいです。

質問者からの補足コメント

  • また、フーリエ変換からローラン展開が導けたりするのでしょうか?
    導ける場合は導くまでの過程の計算をどうか教えて下さい。
    どうかよろしくお願い致します。

      補足日時:2021/09/07 12:47
  • フーリエ級数展開を求めるまでの過程の計算をわかりやすく教えて頂けないでしょうか?

      補足日時:2021/09/09 21:36

A 回答 (2件)

フーリエ展開を


f(x) = C + ∑[n=1→∞]{ (a_n)(cos nx) + (b_n)(sin nx) } と置いて、
∫[0,2π]f(x)dx を計算すると
∫[0,2π]f(x)dx
 = C∫[0,2π]dx + ∑[n=1→∞]{ (a_n)∫[0,2π](cos nx)dx + (b_n)∫[0,2π](sin nx)dx }
 = C(2π) + ∑[n=1→∞]{ (a_n)0 + (b_n)0 }
 = 2πC です。
C = (1/(2π))∫[0,2π]f(x)dx だと判ります。
もし a_0 = (1/π)∫[0,2π]f(x)dx と定義してあったのならば、C = (a_0)/2 ですね。
計算としては単にこれだけの話です。

なぜ a_0 をそのように定義したかという心情的な話としては、
∑ の中身を (a_n)(cos nx) + (b_n)(sin nx) と書くために
n≧1 で
∫[0,2π]f(x)(cos nx)dx
 = 0 + (a_n)∫[0,2π](cos nx)²dx + 0
 = (a_n)π より
a_n = (1/π)∫[0,2π]f(x)(cos nx)dx.
この式を n = 0 でもそのままの形で使うと、
a_0 = (1/π)∫[0,2π]f(x)dx です。
公式を単純にしようとして、こんなことになってしまったのでしょう。
結果的に、展開式で a_0 と他の a_n の扱いが違って、とても醜いですね。

字面の単純さではなく、数学的な美しさをめざすなら、
n≧0 について
F0(x) = 1/√(2π),
Fn(x) = (1/√π)(cos nx),
Gn(x) = (1/√π)(sin nx) と置いて
An = ∫[0,2π]f(x)Fn(x)dx,
Bn = ∫[0,2π]f(x)Gn(x)dx と定義すれば、
f(x) = ∑[n=0→∞]{ (A_n)Fn(x) + (B_n)Gn(x) } となって
単純明快だったのです。
現状そうなっていないのは、歴史の手垢としか言えません。
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余弦関数 cos(n*α) を固有関数に選んだときのフーリエ展開で,n=0 のときと n≠0 のときとで,そのノルムが 1 か 1/2 になるから。

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