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No.2
- 回答日時:
フーリエ展開を
f(x) = C + ∑[n=1→∞]{ (a_n)(cos nx) + (b_n)(sin nx) } と置いて、
∫[0,2π]f(x)dx を計算すると
∫[0,2π]f(x)dx
= C∫[0,2π]dx + ∑[n=1→∞]{ (a_n)∫[0,2π](cos nx)dx + (b_n)∫[0,2π](sin nx)dx }
= C(2π) + ∑[n=1→∞]{ (a_n)0 + (b_n)0 }
= 2πC です。
C = (1/(2π))∫[0,2π]f(x)dx だと判ります。
もし a_0 = (1/π)∫[0,2π]f(x)dx と定義してあったのならば、C = (a_0)/2 ですね。
計算としては単にこれだけの話です。
なぜ a_0 をそのように定義したかという心情的な話としては、
∑ の中身を (a_n)(cos nx) + (b_n)(sin nx) と書くために
n≧1 で
∫[0,2π]f(x)(cos nx)dx
= 0 + (a_n)∫[0,2π](cos nx)²dx + 0
= (a_n)π より
a_n = (1/π)∫[0,2π]f(x)(cos nx)dx.
この式を n = 0 でもそのままの形で使うと、
a_0 = (1/π)∫[0,2π]f(x)dx です。
公式を単純にしようとして、こんなことになってしまったのでしょう。
結果的に、展開式で a_0 と他の a_n の扱いが違って、とても醜いですね。
字面の単純さではなく、数学的な美しさをめざすなら、
n≧0 について
F0(x) = 1/√(2π),
Fn(x) = (1/√π)(cos nx),
Gn(x) = (1/√π)(sin nx) と置いて
An = ∫[0,2π]f(x)Fn(x)dx,
Bn = ∫[0,2π]f(x)Gn(x)dx と定義すれば、
f(x) = ∑[n=0→∞]{ (A_n)Fn(x) + (B_n)Gn(x) } となって
単純明快だったのです。
現状そうなっていないのは、歴史の手垢としか言えません。
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