n次元の体積の求め方

ｎ次元ユークリッド空間で、
　　x1≧0, x2≧0,… xn≧0, x1＋x2+…＋xn ≦ a　(aは正定数)
を満たす領域の体積を考えます。私はこれを
　　∫(0～a)dxn∫(0～a - xn)dxn-1 …∫(0～a -(xn+…+x2))dx1
　=∫(0～a)dxn∫(0～a - xn)dxn-1 …∫(0～a -(xn+…+x3))dx2(a -(xn+…+x2))
　=…
　=a^n/n!
として求めました。（http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=1057646参照） n=2, 3 の場合にこれが正しいことは容易に確かめられます。自分の回答のことで無責任ですが、一般のｎの場合になぜこのような積分で体積が求められるのでしょうか。また、被積分関数が１でないなら積分も必要と思いますが、被積分関数が１の場合は単なる体積です。積分を使わずにこの体積を幾何学的に直感的に説明する方法はないのでしょうか。

No.3 ベストアンサー 回答者： yaksa 回答日時： 2004/11/08 21:27

＞それよりお聞きしたかったことはxiの積分の範囲が 0～a -(xn+…+x[i+1]) となることです。

xiについて考えると、
直感的には、
x1＋x2+…＋xn ≦ a より、
xn, x[n-1], ... x[i+1] が固定されている（定数である）とした場合は、
(x1+x2+…＋x[i-1]) + xi ≦a - (xn+…＋x[i+1])
で、かつ、
0≦xi
0≦(x1+x2+…＋x[i-1])
なんで、
xiの積分範囲が、
0～a -(xn+…+x[i+1])
になるのは、明らかという気がしますが。

そうじゃなくて、しっかり、重積分の定義and定理から示せってことですか？　もう忘れてしました。。。
でも、流れとしては、2重積分→逐次積分が、
∫∫_A f(x1,x2)dx1dx2 =
∫_{x1; ∃x2 st A∩(x1,x2)≠φ}dx1 ∫_{x2; A∩(x1,x2)≠φ} dx2 f(x1,x2)
と計算できることを証明すれば、n重積分→逐次積分は、これをn回適用するだけですね。

＞各方向の大きさaのn次元四角錐の体積が～
いまいち、まだしっかり追えてないですが、
少なくとも、前提となる
「相互作用描像のシュレーディンガー方程式～」
の式を既知とするのは少し無理がある気はします。
少なくとも、この式を証明するには、
単純に垂体の体積を積分を使って求める、以上の知識が必要でしょう。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。多重積分は変数変換すると積分の範囲の決定が難しいと思いますがyaksaさんの説明でよく分かりました。

お礼日時：2004/11/10 12:39

No.2 回答者： yaksa 回答日時： 2004/11/02 18:50

間違え

× V(n+1) = V(n)*a / (n+1)!
○ V(n+1) = V(n)*a / (n+1)

No.1 回答者： yaksa 回答日時： 2004/11/02 18:48

体積の定義の仕方によって、違うのでしょうが、

n次元ユークリッド空間のある部分集合Aの体積V(A)を、
Aのルベーグ測度で定義すれば（もちろん可測な場合）、
ルベーグ積分の定義から、
V(A)=∫_{A} dx
ルベーグ積分の性質から、これは多重積分で計算することができます。

＞幾何学的に直感的に説明する方法はないのでしょうか。
うーん。そうですね。
d次元空間の底面積S高さhの錐体の体積Vは、
V = S*h/d ... (1)
なんで、n次元のときの体積をV(n)とすると、
V(n+1)は、底面の面積がV(n)で、高さがaの超三角錐なんで、
V(n+1) = V(n)*a / (n+1)!
とかはどうでしょうか。
もちろん、(1)を証明するには積分が必要なわけですが。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。体積の定義は単位立方体の測度を１とする普通の体積とします。また、被積分関数はただの１なので重積分を逐次積分で計算することは問題にならないと思います。それよりお聞きしたかったことはxiの積分の範囲が 0～a -(xn+…+x[i+1]) となることです。例えばx2の範囲が 0～a -(xn+…+x3+x1) でなく、0～a -(xn+…+x3) となることは明らかなのでしょうか。
　各方向の大きさaのn次元四角錐の体積がｎ次元立方体の1/n になることは積分を使わずに示せます。私はこれを相互作用描像のシュレーディンガー方程式の摂動論を使ってしめしました（http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=642279参照）。簡単に言えば[0,a]×…×[0,a]のｎ次元立方体では原点と接しない面がｎ個あるから、その面と原点とを結ぶ四角錐の体積は立方体の体積の1/nになると言うだけの話です。これから考えるとｎ次元三角錐がｎ次元三角柱の体積の1/nというのも積分を使わないで言えそうな気がします。

お礼日時：2004/11/08 12:46