数学の課題が分かりません

ＰＡ＝ＰＢ＝ＰＣ＝4、ＡＢ＝6，ＢＣ＝4，ＣＡ＝5　の三角錐の体積Ｖを求めなさい。という問題なんですけどクラスのみんなも難しいらしくて僕も解こうとしたんですがわけが分かりませんでした。どなたか教えて頂けませんか？

No.1 ベストアンサー 回答者： guunagoona2015 回答日時： 2015/12/02 22:44

三角形ＡＢＣを底面にして考えると、

Ｐから底面の△ＡＢＣに垂線ＰＨを引くと、
ＰＡ^2＝ＰＨ^2＋ＨＡ^2より　ＨＡ^2＝ＰＡ^2－ＰＨ^2
ＰＢ^2＝ＰＨ^2＋ＨＢ^2より　ＨＢ^2＝ＰＢ^2－ＰＨ^2
ＰＣ^2＝ＰＨ^2＋ＨＣ^2より　ＨＣ^2＝ＰＣ^2－ＰＨ^2
ＰＡ＝ＰＢ＝ＰＣだから
ＨＡ^2＝ＨＢ^2＝ＨＣ^2
ＨＡ>0，ＨＢ>0，ＨＣ>0より
ＨＡ＝ＨＢ＝ＨＣ
よって、Ｈは△ＡＢＣの外心になる。

△ＡＢＣで、余弦定理より
cosＢ＝(6^2＋4^2－5^2)/(2･6･4)＝(36＋16－25)/48＝27/48＝9/16
よって
sinＢ＝√(1－cos^2Ｂ)＝√{1－(81/256)}＝√(175/256)＝5√7/16
△ＡＢＣで、正弦定理より
2ＨＡ＝ＣＡ/sinＢ＝5/(5√7/16)
2ＨＡ＝16/√7
ＨＡ＝8√7/7

ＰＡ^2＝ＰＨ^2＋ＨＡ^2　にＰＡ＝4，ＨＡ＝8√7/7　を代入して
4^2＝ＰＨ^2＋(8√7/7)^2
16＝ＰＨ^2＋(64/7)
ＰＨ^2＝48/7
ＰＨ>0　より
ＰＨ＝4√3/√7＝4√21/7

したがって、求める体積Ｖは、
Ｖ＝1/3×△ＡＢＣ×ＰＨ
＝1/3×(1/2×6×4×sinＢ)×ＰＨ
＝1/3×(1/2×6×4×5√7/16)×4√21/7
＝5√3
になるのではないでしょうか。

この回答へのお礼

解答ありがとうございます。本当にありがとうございます。ほんとにわからなくて困ってて今も問題の前で呻ってましたw
助かりました。何度も言うようですがありがとうございます。

お礼日時：2015/12/02 22:54

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2015/12/03 02:07

「ありがとうございます」と書くのはいいが, 問題の書き方がヒントになっていることに気付いているかな?

ちなみに個人的には先に三角形ABC の面積を求めたうえで外接円の半径→高さ→体積ともっていくかな. 式の運算上はこっちの方が簡単になる可能性がある.

この回答へのお礼

分かりました。そのようにしてみます。

お礼日時：2015/12/04 16:24