No.4ベストアンサー
- 回答日時:
変態チックなおいらにがそのまま突き進むと、、、
(V²の微分のほうが計算が楽っていうことならわかるんだけど)
V(r) = 2πr²√(a²-r²)
であるとして、
V'=4πr√(a²-r²)+πr²(-2r)/√(a²-r²)
=(4πr(a²-r²)-2πr³)/√(a²-r²)
⇒2πr(2a²-2r²-r²)=0 (0<r<a)
2a²-3r²=0
r=√(2/3)・a
Vはr→0でもr→aでもゼロに近づくから、この点を上限と考え、この値を最初の式にぶち込むと、、、
V=(4πa²/3)√(a²/3)
=4(√3)πa³
計算間違いあったら、ごめんね、
オイラ、パソコン上で計算するの苦手、、、
No.6
- 回答日時:
円柱の半径を r, 円柱の高さの半分を h とすると
r^2+h^2=a^2
体積 V(r, h)=2πr^2・h
ラグランジュの未定乗数法で解くと
h(r, h, λ)= 2πr^2・h + λ(r^2+h^2-a^2)
① ∂h/∂r = 4πrh + 2λr = 0
② ∂h/∂h = 2πr^2 + 2λh = 0
① から λ = -2πh
② から λ = -πr^2/h
λを消去すると r^2 = 2h^2
これをr^2+h^2=a^2 に代入すると 3h^3 = a^2
従って h = √(1/3)a, r = √(2/3)a
V=2πr^2・h=2π(2/3)a^2・√(1/3)a=2π(2/3)√(1/3)a^3
=(4/9)√(3)π
No.3
- 回答日時:
そこから V = πr^2 h に対して
V^2 = 2π^2・r^2・r^2・(2a^2-2r^2)
って書き換えると微分しなくていいんですよね>#1 って変態ちっくな方向性を見せてみるこころみ.
No.1
- 回答日時:
半径aの円に内接する長方形(底辺2rと高さh)の面積の最大値を求めるには、hをrの関数で書き換え微分を取り、、、なので、同じように考えると、、、
ピタゴラスの定理により
(2r)²+h²=(2a)²
だから、
h=2√(a²-r²) (r<a)
だから、円柱の体積 πr²h=2πr²√(a²-r²)
・・・
でできるんじゃないかな?
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