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A right circular cylinder has base raius r=100 cm and height h=100 cm. Which of the following
best describes how the volume of the cylinder will change if r increases to 101cm and h decreases
to 99cm?
(A) Volume will decrease by approximately 3π(100)^2 cubic cm
(B) Volume will decrease by approximately π(100)^2 cubic cm
(C) Volume will increase by approximately π(100)^2 cubic cm
(A) Volume will increase by approximately 2π(100)^2 cubic cm
(A) Volume will inecrease by approximately 3π(100)^2 cubic cm
という問題です。
V(r,h)=πhr^2
と置き、V(101,99)-V(100,100)を求めればよいのだとおもいますが
解答は
∂V/∂r=2πrh,∂V/∂h=πr^2
で
V(101,99)-V(100,100)={(∂/∂r)V(100,100)}(101-100)+{(∂/∂h)V(100,100)}(99-100)
=2π(100^2)(101-100)+π(100^2)(99^100)
≒π(100^2)
という風にさらっと書いてあります。
∂V/∂r=2πrh,∂V/∂h=πr^2はそれぞれ、側面積と底面積ですよね。
そして、
V(101,99)-V(100,100)={(∂/∂r)V(100,100)}(101-100)+{(∂/∂h)V(100,100)}(99-100)
は
{(∂/∂r)V(100,100)}・101+{(∂/∂h)V(100,100)}・99-[{(∂/∂r)V(100,100)}・100+{(∂/∂h)V(100,100)}・100]
と書けて、これは個々の
側面積×半径+底面積×高さ
の差をとっている事かわかりますが
どうして
側面積×半径+底面積×高さ
が体積を表すのでしょうか?
確かに計算すれば
側面積×半径+底面積×高さ=πhr^2にはなりますが。。。
何故、いきなり偏微分が出てくるのかがよく分からないのです。
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
全微分をとっているのです。
独学なので、私なりの言葉で説明します。
この体積関数には、お分かりでしょうが、r,hの2種類の変数がありますね。
体積の変化量をその2種類の変数に関連させて記述したいわけです。1変数の微分については既知であるとします。それを利用するために変形します。
そのためには、一方を定数とみなさなければなりません。まず、r変数、h定数とみてみましょう。中2項を付け加えました。なぜか分かるでしょう。1変数の微分の定義式の分子の形を作ったのです。
V(r+a,h+b)-V(r,h)=V(r+a,h+b)-V(r,h+b)+V(r,h+b)-V(r,h) …(1)
ちょうど、うまい具合に、hのほうもいい形になってくれました。前2項はrの微小変化に対しての、Vの微小変化、後ろ2項は、同様のhに対する・・・。
(1)の左辺は体積の変化量として、dVとあらわしていいでしょう。また、dy=(dy/dx)dxと形式的に変形できますので、右辺は、
(dV/dr)dr+(dV/dh)dh
と表せそうですが、( )の中は、2変数関数を微分するので偏微分となります。すなわち、(1)の式から、次のように変形します。
dV=(∂V/∂r)dr+(∂V/∂h)dh
dVをVの全微分というのです。問題の解はこれに代入しただけなのです。
おそらく、全微分の利用の仕方のウォーミングアップのような意図がこの問題にはあるのでしょう。なぜなら、この問題は、全微分の定義式を使う必要はないのですから。
単純に考えて、
高さを一定のとき、底面の半径が1/100増えると、体積は、(1/100)^2増える。
また、半径を一定が一定のとき、高さが1/100減ると、体積は、1/100減る。
この両方をまとめて考えると、2次の微小量は無視できるから(特殊相対性理論でアインシュタインもつかった考え)、体積は1/100減るといえる。
答え (B)
以上の数学的論理を形式的に数式で示したものが、全微分なのでしょうね。
>どうして
側面積×半径+底面積×高さ
が体積を表すのでしょうか?
これは、誤解です。
側面積×半径の微小変化量+底面積×高さの微小変化量
が体積の微小変化量を表しているのです。
たまたま、もとの体積π(100)^3に、体積の微小変化量π(100)^2 が似ていたので、誤解されたのでしょう。
No.4
- 回答日時:
この問題だけを見ても、なぜ、いきなり偏微分が出てくるのかは分からないと思います。
この問題が、どこにあったのか、どういう話題の中で出てきたのかがわからなければ。No.3
- 回答日時:
体積V=πr^2・hの変化は、ΔV=(∂V/∂r)・Δr+(∂V/∂h)・Δhで表わされます。
偏微分を使ったのは、体積Vが高さと底面の半径の関数であり、hがそのままで、rのみが変わる場合と、rがそのままでhのみが変わる場合を考えようとしたからです。
ただし、この方法を使う時に注意するべきことは、(∂V/∂r)・Δrの部分です。
(∂V/∂r)がrの関数であり、定数でないため、rの値によって異なることです。正確に求めるには、一旦微分したものをですが、積分しなければなりません。
今の場合、Δrに相当するのが小さいので、大きな誤差を生みません。しかし、誤差を含んでいることは明らかであり、そのため、近似であると記す記号、「≒」が使われているのです。
大雑把に、底面の半径が大きくなり、高さが低くなったとき、体積にどのような影響が出るかなど、複数の変数が増減するときの効果を簡単に調べるために、このような方法が採用されることがしばしばあります。
No.1
- 回答日時:
円柱の体積を 底面積×高さ と考えると、 高さが変化した時の体積の変化は、 底面積×(高さの変化分) と表すことができます。
一方、円柱をバームクーヘンと思って見てみると、 円柱の体積は、 (側面の面積×厚み)を半径0からrまで積分した物 と考えることができます。 このように考えると、半径が変化した時の円柱の体積の変化は、 側面積×(厚み=半径の変化分) と表すことができます。
偏微分が出てくるのは、独立変数が複数有る場合の考え方を理解して欲しいからでしょう。 そうでなければ、簡単すぎる問題です。
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