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お示しのような「扇形」であれば、「中心角」方向には「中心角 30°」上に重心があることは明らかですので、「半径方向にどの位置か」を調べればよいです。
「重心」とは、その扇形の各部分の「力のモーメント」が、「全質量が重心にある」ときの力のモーメントに等しくなる点ということです。
この場合には、扇形がその一部である「円」の中心周りの力のモーメントを考えるのが一番楽でしょう。
扇型板の単位面積あたりの質量(面密度)を ρ としましょう。
扇形のうち、半径 r ~ r+dr と θ ~ θ+dθ に囲まれた微小面の面積は
dS = dr * rdθ = rdrdθ
です。この部分の質量が
ρdS = ρrdrdθ
ですから、「円」の中心周りの力のモーメントは
dM = r * ρdS = ρr^2drdθ
です。
従って、扇形全体にわたる力のモーメントの合計は、これを r :0~a、θ : 0~60°=0~パイ/3 で積分すればよいので
M = ∫[0→a]∫[0→パイ/3]ρr^2drdθ
= ρ(パイ/3)∫[0→a]r^2dr
= ρ(パイ/3)[ r^3 /3][0→a]
= ρ(パイ/9)a^3 ①
重心位置を「円の中心」から R の距離とすると、扇形の面積が
S = パイa^2 * (60/360) = (パイ/6)a^2
なので、その質量は
m = ρS = ρ(パイ/6)a^2
従って、重心位置の力のモーメントは
Mg = R*m = Rρ(パイ/6)a^2 ②
①②が等しいので
Rρ(パイ/6)a^2 = ρ(パイ/9)a^3
よって
R = (2/3)a
つまり、扇の中心Oから重心Gまでの距離は (2/3)a です。
扇型の全質量が重心にあるときの力のモーメント = 扇型各部分における微小質量の力のモーメントの合計 として計算するのですね。ありがとうございました。
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