投影平面の角度から求める座標

三次元上の点Pの求め方についてご助力ください。

■XYZ座標上の点P（Px,Py,Pz）を、ZX,XY,YZの三平面からみたときの点Pの傾きからPz=10 とした時の点Pの座標を求めよ。

◇傾き
　α＝-17.22 （ZX平面よりX軸を基準にした傾き←（反時計回りが正）
　β＝2.29 （XY平面よりX軸を基準にした傾き）
　γ＝-13.22 （YZ平面よりY軸を基準にした傾き）

◇各平面上に投影された点P[x,y,z]
(1)Pzx[Acosα,0,Asinα]　[A=原点から点Pzxまでの距離]
(2)Pxy[Bcosβ,Bsinβ,0]　[B=原点から点Pxyまでの距離]
(3)Pyz[0,Ccosγ,Csinγ]　[C=原点から点Pyzまでの距離]



□上記の(1)、(2)、(3)より連立方程式を作成。
　Acosα＝Bcosβ
　Bsinβ＝Ccosγ
　Asinα＝Csinγ
また、
　A＝Pz/SINα
　B＝Pz/COSβ
　C＝PY/COSγ　より

連立方程式
　Px＝Pz*[COSα/SINα]＿１
　Py＝Px*[SINβ/COSβ]＿２
　Px＝Py*[SINγ/COSγ]＿３　となります。

この連立方程式の作成まですすめたのですが、この連立方程式１，２，３，が釣り合わず、どこか解き方を間違ったのではないかと考えています。

お忙しいなか恐縮ですが、３平面に投影された角度から点Pを求める解を教えてください。

No.1 ベストアンサー 回答者： chikurin7 回答日時： 2007/02/06 16:41

[I] ＺＸ平面を横軸Ｚ、縦軸Ｘとして、Ｘ軸を基準に反時計回りにαを定義すると

Ｐz＝－Ａsinα　となりますので

(1)Ｐzx[Ａcosα，0，－Ａsinα]

に修正してください。

[II] ＸＺ平面を横軸Ｘ、縦軸Ｚとして、Ｘ軸を基準に反時計回りにαを定義すると
(1)Ｐxz[Ａcosα，0，Ａsinα]になり、kukukさんの式展開になります。

ここでは [II] で話を進めます。

Ｐx＝Ａcosα＝Ｂcosβ
Ｐy＝Ｂsinβ＝Ｃcosγ
Ｐz＝Ａsinα＝Ｃsinγ

Ａ＝Ｐz／sinα
Ｂ＝Ｐx／cosβ・・・・ここ間違っている（書き間違い？、次が正しくなっている）
Ｃ＝Ｐy／cosγ

Ｐx＝Ｐz×（cosα／sinα）
Ｐy＝Ｐx×（sinβ／cosβ）
Ｐz＝Ｐy×（sinγ／cosγ）・・・ここ間違ってる

このことから

Ｐz＝Ｐz×（cosα／sinα）×（sinγ／cosγ）×（sinβ／cosβ）

ゆえに
１＝（cosα／sinα）×（sinγ／cosγ）×（sinβ／cosβ）

これはα，β，γが自由に設定できないことを示しています。

一般に３次元空間上の点は３つの独立な数字で表せます。
この点を原点からの長さと方向であらわすと、
長さ（１次元）＋方向（？次元）＝空間の点（３次元）
なので、方向は２次元つまり２つの独立な数字で表せます。
このため、α，β，γは自由に設定できません。

なお、回答は

Ｐx＝Ｐz×（cosα／sinα）
Ｐy＝Ｐz×（cosα／sinα）×（sinβ／cosβ）

α，β、Ｐzから点Ｐ（Ｐx，Ｐy，Ｐz）が求まります。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
連立方程式途中で間違えてました。
α、β、γは自由に設定できないのですね。
その考え方を間違えていたようです。

説明不足にも関わらず、丁寧な回答どうもありがとうがざいました。

お礼日時：2007/02/06 21:13