三平方の定理とsin^2+cos^2=1の違い

たとえば次のような問題。

sinA=2/3のとき、Aのコサインとタンジェントの値は？

授業では、sin^2+cos^2=1に代入し、求めていました。

別解として、斜辺３、高さ２の直角三角形がかけるため、三平方の定理から残りの辺の長さを求めて、コサイン・タンジェントを求めることもできると聞きました。

三平方の定理でも求められるのに、sin^2+cos^2=1を使うのは、何か数学的に深～い意味があるのでしょうか？

回答よろしくお願いいたします。

No.5 ベストアンサー 回答者： Water_5 回答日時： 2014/02/07 21:48

sinθ^2＋cosθ^2＝ 1はθが第I象限、第II象限、

第III象限、第IV象限の場合をすべて含んでいる。

そのことが”数学的に深～い意味”ではない。

数学的に深い意味とは以下です。

e＾（iθ）＝cosθ＋isinθ・・・・（１）
e＾（-iθ）＝cosθ-isinθ・・・・（２）

（１）ｘ（２）＝sinθ^2＋cosθ^2＝ 1

No.4 回答者： shuu_01 回答日時： 2014/02/07 16:00

三平方の定理（ピタゴラスの定理） は直角三角形の各辺の関係についての公式

今回の sin、cos、tan は「角度の比をこう定義しました（決めました）」みたいな感じです

三角形の比をこう決めとくと、下図の場合、a ＝ c sin θ、b ＝ c cos θ となり、

三平方の定理に当てはめると

a^2 ＋ b^2 ＝ c^2

（c sin θ）^2 ＋ （c cos θ）^2 ＝ c ^2

両辺を c^2 で割って、sin^2θ＋cos^2θ＝ 1

となります

Wikipedia 三角関数
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%89%E8%A7%92% …

に上記とか他の関係とかいろいろ説明されており、自分で三角形とかグラフを描いて、感覚的に理解しておくと良いです

＞　三平方の定理でも求められるのに、sin^2+cos^2=1を使うのは、
＞　何か数学的に深～い意味があるのでしょうか？

正確に言うと、sin^2+cos^2=1 は三角関数を三平方の定理に
当てはめたら出てくる三角関数の式です

No.3 回答者： KEIS050162 回答日時： 2014/02/07 15:07

＃１さんのおっしゃることを式だけで理解するのではなく、単位円で考えてみてください。

そうすれば、Sin^2θ＋Cos^2θ＝１　が三平方の定理から成り立っていることが自ずから良く分かります。

単位円では下記の様になります。
Cosθ=x
Sinθ＝y
半径 r=1

単位円上の任意のｘ、ｙ座標からｘ、ｙ軸のいずれかに垂線を降ろして三角形を作ると、斜辺は必ずｒ＝１なので、

三平方の定理から、x^2+y^2=1
従って、Cos^2θ＋Sin^2θ=１
となります。

直角三角形（鋭角）だけで三角比を考えると限界がありますが、単位円なら鋭角でも、鈍角でもこの関係は一緒です。

＞三平方の定理でも求められるのに、sin^2+cos^2=1を使うのは、何か数学的に深～い意味があるのでしょうか？

「すべての道はローマに通ず」
これに限らず、数学では一つの答えに辿り着く方法は幾通りもあります。

No.2 回答者： f272 回答日時： 2014/02/07 12:32

三平方の定理はcを斜辺として

a^2+b^2=c^2
とかける。これをc^2で割れば
(a/c)^2+(b/c)^2=1
a/c=sinT
b/c=cosT
と思えば
(sinT)^2+(cosT)^2=1
になる。
同じ式なんだから，結果も同じになるに決まってるよね。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

お礼日時：2014/02/07 14:30

No.1 回答者： info22_ 回答日時： 2014/02/07 12:26

>斜辺３、高さ２の直角三角形がかけるため、三平方の定理から残りの辺の長さを求めて、コサイン・タンジェントを求めることもできる

∠Aが鋭角（0から90°の範囲）ならどちらの方法でも同じ結果が得られます。

ところが
sinA=2/3のとき、0°≦∠A≦180°の範囲で考えた場合
　直角三角形で3平方の定理からは　cosA=√(5)/3, tanA=2/√5 としか出ません。

　sin^2(A)+cos^2(A)=1を使えば　cosA=±√(5)/3, tanA=±2/√5 と出てきます。
直角三角形考えると直角でない２つの角は鋭角となって、鈍角の場合が抜け落ちてしまうのです。

これが、あなたの言う
>三平方の定理でも求められるのに、sin^2+cos^2=1を使うのは、何か数学的に深～い意味があるのでしょうか？

の「数学的に深～い意味」なのです。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
なるほどでした！

お礼日時：2014/02/07 14:29