0<x<π/2のとき、不等式sinx+tanx>2xが成り立つことを証

0<x<π/2のとき、不等式sinx+tanx>2xが成り立つことを証明せよ。


f(x)=sinx+tanx-2xとおいて微分することは分かったのですが、
増減表を書くべきなのか、のような、詳しいところが分かりません；
詳しい解答をよろしくお願いします！

No.4 回答者： mister_moonlight 回答日時： 2010/09/17 13:23

ごく初歩的な愚かしいミスに気がついたので、修正しておく。

xy平面上に原点Ｏを中心とした単位円を書き、Ａ(1、0)とし単位円上の一点をＰ、ＯＰを延長し点Ａで立てた垂線との交点をＢとする。
∠xＯＰ＝θ　(0＜θ＜π/2)とすると、Ｐ(cosθ、sinθ)、Ｂ(1、tanθ)となる。
又、△ＰＯＡ＜扇形ＯＰＡ＜△ＢＯＡ　であるから、tanθ＞θ＞sinθ　‥‥(1)　が成立する。
又、△ＯＡＢ＝△ＯＡＰ＋△ＡＢＰ　‥‥(1)
Ｐで引いた接線とＡＢとの交点をＣとすると、扇形ＯＡＰ＜△ＯＡＰ＋△ＡＣＰ　‥‥(2)
∠ＣＰＢ＝∠Ｒ(90°)から、ＢＣ＞ＣＰ＝ＣＡ　より　△ＢＣＰ＞△ＡＰＣ‥‥(3)
よって、△ＯＡＰ＋△ＯＡＢ＝sinθ+tanθ＝2△ＯＡＰ＋△ＡＢＰ＞2(△ＯＡＰ＋△ＡＰＣ)＞2(扇形ＯＰＡ)＝2θ　であるから、sinθ+tanθ＞2θ　。

No.3 回答者： mister_moonlight 回答日時： 2010/09/16 15:03

＞微分することは分かったのですが、

微分しなくても解ける、数IIの範囲で十分。

xy平面上に原点Ｏを中心とした単位円を書き、Ａ(1、0)とし単位円上の一点をＰ、Ｐを延長し点Ａで立てた垂線との交点をＢとする。
∠xＯＰ＝θ　(0＜θ＜π/2)とすると、Ｐ(cosθ、sinθ)、Ｂ(1、tanθ)となる。
又、△ＰＯＡ＜弧ＰＡ＜△ＢＯＡ　であるから、tanθ＞2θ＞sinθ　‥‥(1)　が成立する。
よって、sinθ＞0　と　(1)から　sinθ+tanθ>sinθ+2θ＞2θ　つまり、sinθ+tanθ＞2θ　が成立する。
　

No.2 回答者： info22_ 回答日時： 2010/09/16 02:13

f(x)=sinx+tanx-2x

f'(x)=cosx+sec^2(x)-2=cosx+1+tan^2(x)-2
=cosx+tan^2(x)-1
={cos^3(x)+sin^2(x)-cos^2(x)}/cos^2(x)
={cos^3(x)+1-2cos^2(x)}/cos^2(x)
=(1-cosx)(1-cos^2(x)+cosx)/cos^2(x)
0<x<π/2のとき 0<cosx<1なので f'(x)>0 ∴f(x)は単調増加関数
f(0)=0なので f(x)=sinx+tanx-2x>0
∴sinx+tanx > 2x

No.1 回答者： toriton_blue 回答日時： 2010/09/15 23:53

増減表を書いてf(x)が0<x<π/2のどんな場合においても0より大きくなる事を証明する必要があります