独立な確率変数X,Yの同時密度関数が ae^(-x^2-y^2-bxy)の時、定数a.bを求めるとい

独立な確率変数X,Yの同時密度関数が
ae^(-x^2-y^2-bxy)の時、定数a.bを求めるという問題について解答を教えて欲しいです！

No.1 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2022/07/30 14:12

X, Y は独立なので

　b=0
でないといけない。

そのとき
　f(x, y) = f(x)･f(y) = ae^(-x^2 - y^2) = ae^(-x^2)･e^(-y^2)
なので
　f(x) = pe^(-x^2)
　f(y) = qe^(-y^2)
　pq = a
と書ける。

確率密度関数だから
　∫[-∞→+∞]f(x)dx = 1
　∫[-∞→+∞]f(y)dy = 1
となるためには
　∫[-∞→+∞]f(x)dx
= p∫[-∞→+∞]{e^(-x^2)}dx
= p√π　（ガウス積分）
より
　p = 1/√π
　q = 1/√π
従って
　a = pq = 1/π

よって
　a = 1/π
　b = 0