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∫[0→2π]3/(5-4cosx)dxを求めよ。

という問題なのですが、自分で考えたところ不定積分は
∫3/(5-4cosx)dx=2arctan(3tan(x/2))+C
となりました。

このあとどうすればいいのでしょうか?

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A 回答 (4件)

あとご指摘のように不定積分の任意定数Cを調整して


0≦x≦2πで連続な原始関数を作る手もあります。
たとえば

0≦x<πでF(x)=2arctan(3tan(x/2))
π<x≦2πでF(x)=2arctan(3tan(x/2))+2π
F(π)=πとして0≦x≦2πでF(x)を定義すれば
このあらたなF(x)は0≦x≦2πで連続で
x=π以外でもちろん微分可能で
F’(x)=f(x)=3/(5-4cosx)ですが実はx=πでも微分可能で
F’(π)=f(π)になることが平均値の定理を使って証明できます。
このあらたな原始関数をつかっても
表題の定積分=2πがでます。
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この回答へのお礼

助かりました

ありがとうございました。
とても参考になりました。

お礼日時:2022/07/01 20:22

いま、


f(x)=3/(5-4cosx)とおいて
G(x)=∫[0→x]3/(5-4cost)dt とおきます。すると
周知のようにG’(x)=f(x)なのでG(x)は連続関数です。
したがってlim(x→π-0)G(x)=G(π)
一方0≦x<πで
F(x)=2arctan(3tan(x/2))は連続で
f(x)の原始関数だから
0≦x<πで
G(x)=F(x)-F(0)=F(x)とかけます。
ゆえに
G(π)=lim(x→π-0)G(x)=lim(x→π-0)F(x)=π
となるわけです。
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この回答へのお礼

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回答ありがとうございます。

お礼日時:2022/07/01 20:24

x=2π-tとすれば


∫[π→2π]3/(5-4cosx)dx=∫0→π]3/(5-4cosx)dxがわかるので
求める積分Iは
I=2∫[0→π]3/(5-4cosx)dxになる
さて
F(x)=2arctan(3tan(x/2))は0≦x<πで連続で
lim(x→π-0)F(x)=πだから
∫[0→π]3/(5-4cosx)dx=lim(x→π-0)F(x)-F(0)と計算されます。
したがってI=2π になります。
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この回答へのお礼

ありがとう

ありがとうございます。

原始関数は連続なはずなのに極限の議論になるのが不思議です。
2arctan(3tan(x/2)) (0≦x<π)を連続になるように階段状につなぎ合わせたものを原始関数のひとつと思ってもよいのでしょうか?

お礼日時:2022/06/09 17:59

不定積分を求めたときに


t = tan(x/2) で置換したんじゃないかと思う。
sin x と cos x の入った分数式は
この置換で不定積分できるって、例のヤツで。
このとき、x→t の対応が x=π で非正側
になっているから、定積分をここで分割して
∫[0,2π] = ∫[0,π) + ∫(π,2π] と
右辺の積分を広義積分で捉える必要があった。

だから、そから先は
F(x) = 3 arctan(2 tan(x/2)) に対して
{ lim[x→π-0] F(x) - F(0) }
 + { F(2π) - lim[x→π+0] F(x) }
を計算すればいい。
単純に F(2π) - F(0)
としてはいけないから。
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この回答へのお礼

・・・。

ブロックされたからといって次々に新たなアカウントを取得してゴキブリのようにわいて出てくるのはやめて下さいね。

お礼日時:2022/07/01 20:23

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