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1/5+4cosxの0→2πまでの積分で、途中置換積分を使ったら、積分範囲が0→0となってしまいました。不安です。

質問者からの補足コメント

  • すみません。書き方が良くなかったです。
    正しくは、1/(5+4cosx) です。
    置換は、tan(x/2)=t と置きました。
    (すると、xが0→2πなのでtが0→0??となってしまいました)。
    書き方が悪く、すみません。

      補足日時:2020/08/15 23:04
gooドクター

A 回答 (3件)

>正しくは、1/(5+4cosx) です。


>置換は、tan(x/2)=t と置きました。

そうなると話は違ってくる。
tan(x/2)に置換する前にやるべきことがある。

∫[0, 2π] 1/(5+4cosx) dx
=∫[0, π] 1/(5+4cosx) dx + ∫[π, 2π] 1/(5+4cosx) dx

t=tan(x/2)とすると、積分範囲は0~πが0~∞、π~2πが-∞~0に変わる。

cosx=(1-t^2)/(1+t^2)
dt/dx=1/(2(cos(x/2)^2))=(1+t^2)/2
dx=2/(1+t^2) dt

=∫[0, ∞] 1/(5+4((1-t^2)/(1+t^2))) (2/(1+t^2)) dt + ∫[-∞, 0] 1/(5+4((1-t^2)/(1+t^2))) (2/(1+t^2)) dt
=2∫[0, ∞] 1/(5(1+t^2)+4(1-t^2)) dt + 2∫[-∞, 0] 1/(5(1+t^2)+4(1-t^2)) dt
=2∫[0, ∞] 1/(9+t^2) dt + 2∫[-∞, 0] 1/(9+t^2) dt

t=3tanuとすると、積分範囲は0~∞が0~π/2、-∞~0がπ/2~πに変わる。
dt/du=3/(cosu)^2
dt=3/(cosu)^2 du
=(2/9)∫[0, π/2] 1/(1+(tanu)^2) (3/(cosu)^2) du + (2/9)∫[π/2, π] 1/(1+(tanu)^2) (3/(cosu)^2) du
=(2/3)∫[0, π/2] 1/(1/(cosu)^2) (1/(cosu)^2) du + (2/3)∫[π/2, π] 1/(1/(cosu)^2) (1/(cosu)^2) du
=(2/3)∫[0, π/2] du + (2/3)∫[π/2, π] du
=(2/3)u[0, π/2] + (2/3)u[π/2, π]
=π/3 +π/3
=(2/3)π
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この回答へのお礼

そうですねm(_ _)m愚問ですみません。丁寧に教えて頂き、ありがとうございます。

お礼日時:2020/08/16 09:06

0≦x≦2πなら0≦x/2≦πで、すると、tan(x/2)に関しては「定義できない点」があるでしょ。



それはx/2=π/2のとき。
それをそのまま積分範囲に入れてはダメなのは当たり前なのは、気付いて当然。

だから、0≦x/2≦πを「0≦x/2<π/2と、π/2<x/2≦π」に分けないと。(つまり、0≦x<πと、π<x≦2πに分ける)
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この回答へのお礼

愚問ですみません。教えて頂きありがとうございます!

お礼日時:2020/08/16 09:06

cosxを置換したら、質問にあるようにおかしなことになるのでcosxを置換しちゃいけないね。



ていうか、 ∫[0, 2π] 1/5+4cosx dx だったら、普通に積分すればいいんじゃないのかな。
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